ࡱ> OLPhfiEYAy\S p!"_""a##o$$B%%\&&y7bjbj|q%{{j3''___@ s%_*V>:????888$GF8888''???o{ 8'R?(?? 8 y" ??p 0 J 4l88 888888888888888888888+ : COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2006 As questes desta prova apresentam situaes relacionadas ao ambiente tpico de uma feira. 1. (UERJ)  A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua cano est indicada no mapa abaixo como a origem de um sistema de eixos ortogonais xOy.  Considere que a regio de influncia da feira de Caruaru seja representada, nesse sistema de eixos, pela inequao  EMBED Equation.3 , com x e y medidos em centmetros. Em relao regio de influncia da feira: a) Determine sua rea, em km2, supondo que a escala do mapa seja de  EMBED Equation.3 ; b) Demonstre que uma cidade situada nas coordenadas  EMBED Equation.3  do sistema de eixos considerado no est nessa regio. 2. (UERJ) O preo dos produtos agrcolas oscila com a safra de cada um: mais baixo no perodo da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preo aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela funo  EMBED Equation.3 , na qual t o nmero de dias contados de 1 de janeiro at 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse perodo, calcule: a) O maior e o menor preo do quilograma de tomates; b) Os valores t para os quais o preo P seja igual a R$3,10. 3. (UERJ) Observe as figuras a seguir. A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificao, composta por dois trapzios issceles congruentes e dois tringulos.  Calcule: a) A distncia h da aresta  EMBED Equation.3  ao plano CDEF; b) O volume do slido de vrtices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em funo de h. 4. (UERJ) No toldo da barraca de seu Antnio, decorado com polgonos coloridos, destaca-se um dodecgono cujos vrtices so obtidos a partir de quadrados construdos em torno de um hexgono regular, conforme mostra o desenho abaixo.  a) Demonstre que o dodecgono ABCDEFGHIJKL um polgono regular. b) tomando o quadrado de lado  EMBED Equation.3  como unidade de rea, calcule a rea desse dodecgono. 5. (UERJ) As figuras abaixo representam as formas e as dimenses, em decmetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paraleleppedo retngulo com arestas x, x e 5.  A diferena entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens expressa por  EMBED Equation.3 , em dm3. Considerando essa equao: a) Demonstre que 6 uma de suas razes; b) Calcule as suas razes complexas. 6. (UERJ) Trs barracas de frutas, B1, B2 e B3, so propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas so controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento  EMBED Equation.3  representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas  EMBED Equation.3  e  EMBED Equation.3 , em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira:  EMBED Equation.3 . Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) Arrecadado a mais pela barraca  EMBED Equation.3  em relao barraca  EMBED Equation.3 ; b) Arrecadado em conjunto pelas trs barracas. 7. (UERJ) A tabela a seguir apresenta os preos unitrios de trs tipos de frutas e os nmeros de unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira.  A arrecadao obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto escalar de  EMBED Equation.3  por  EMBED Equation.3 . Determine: a) O valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mames, quinze abacaxis e vinte meles; b) o cosseno do ngulo formado pelos vetores  EMBED Equation.3  e  EMBED Equation.3 , sabendo que x, y, z so respectivamente proporcionais a 3, 2, 1. 8. (UERJ) Durante um perodo de 8 horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo: - Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relao ao nmero de frutas da hora anterior. - Nas (8 - t) horas restantes, diminui 10% em relao ao nmero de frutas da hora anterior. Calcule: a) O percentual do nmero de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t = 2. b) O valor de t, admitindo que, ao final do perodo de 8 horas, h na barraca, 32% das frutas que havia inicialmente. (Considere log2 = 0,30 e log3 = 0,48). 9. (UERJ) Em uma barraca de frutas, as laranjas so arrumadas em camadas retangulares, obedecendo seguinte disposio: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustrao a seguir.  Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do tringulo de Pascal pode ser calculada pela frmula  EMBED Equation.3 , na qual n e p so nmeros naturais, n e" p e  EMBED Equation.3  corresponde ao nmero de combinaes simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informaes, calcule: a) a soma  EMBED Equation.3 ; b) o nmero total de laranjas que compem quinze camadas. 10. (UERJ) No grfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seu Custdio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preo do quilograma de batatas tambm diminui. a) Calcule a reduo percentual do preo do quilograma das batatas a partir das 12 horas. b) Se o preo no diminusse, teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg. Determine o percentual de V que corresponde perda causada pela reduo do preo.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2006 - GABARITO As questes desta prova apresentam situaes relacionadas ao ambiente tpico de uma feira. 1. (UERJ)  A cidade a que se refere Luiz Gonzaga em sua cano est indicada no mapa abaixo como a origem de um sistema de eixos ortogonais xOy.  Considere que a regio de influncia da feira de Caruaru seja representada, nesse sistema de eixos, pela inequao  EMBED Equation.3 , com x e y medidos em centmetros. Em relao regio de influncia da feira: a) Determine sua rea, em km2, supondo que a escala do mapa seja de  EMBED Equation.3 ; Soluo. A regio de influncia representa uma circunferncia e seu interior centrada na origem e raio 1,5cm. Calculando a rea no mapa e em km2, temos:  EMBED Equation.3 . b) Demonstre que uma cidade situada nas coordenadas  EMBED Equation.3  do sistema de eixos considerado no est nessa regio. Soluo. A cidade est indicada no mapa pela letra C. Esta cidade estar na fronteira ou interior da circunferncia se a distncia entre o ponto C e a origem for menor ou igual a 1,5. Calculamos, temos:  EMBED Equation.3 . Logo, C est fora. 2. (UERJ) O preo dos produtos agrcolas oscila com a safra de cada um: mais baixo no perodo da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preo aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela funo  EMBED Equation.3 , na qual t o nmero de dias contados de 1 de janeiro at 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse perodo, calcule: a) O maior e o menor preo do quilograma de tomates; Soluo. O maior preo ser obtido quando o valor do seno for mximo. Isto , igual a (1).  EMBED Equation.3 . O menor preo ser obtido quando o valor do seno for mnimo. Isto , igual a ( 1).  EMBED Equation.3 . b) Os valores t para os quais o preo P seja igual a R$3,10. Soluo. Substituindo na frmula o valor indicado, temos:  EMBED Equation.3 . O preo ser de R$3,10 para t = 131 dias ou t = 251 dias. 3. (UERJ) Observe as figuras a seguir. A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificao, composta por dois trapzios issceles congruentes e dois tringulos.  Calcule: a) A distncia h da aresta  EMBED Equation.3  ao plano CDEF; Soluo. Inicialmente temos que a medida dos lados, x, do tringulo congruente medida do lado no paralelo do trapzio. Logo, o triangulo tambm issceles. Seja y a altura do tringulo. Ela divide a base do tringulo em dois segmentos de 3/2 m. Calculando x e y de acordo com as figuras I e II, temos:  EMBED Equation.3 . A distncia h ser calculada observando a figura mostrada. Substituindo os valores, temos:  EMBED Equation.3 . b) O volume do slido de vrtices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em funo de h. Soluo. O slido pode ser decomposto em duas pirmides equivalentes e um prisma triangular de acordo com a figura.  i) Pirmide CMNFA:  EMBED Equation.3 . ii) Prisma triangular de bases AMN e BPQ e altura AB:  EMBED Equation.3 . iii) Pirmide PDEQB:  EMBED Equation.3 . O volume do slido, em funo de h, : h + h + 6h = 8h. 4. (UERJ) No toldo da barraca de seu Antnio, decorado com polgonos coloridos, destaca-se um dodecgono cujos vrtices so obtidos a partir de quadrados construdos em torno de um hexgono regular, conforme mostra o desenho abaixo. a) Demonstre que o dodecgono ABCDEFGHIJKL um polgono regular. Soluo. O hexgono regular possui seus ngulos internos iguais a 120. Como o quadrado possui ngulos de 90, o tringulo possui ngulo de 60 e sendo issceles, pois tambm so lados do quadrado, os tringulos so equilteros. Como todos os quadrados possuem a mesma medida, todos os ngulos internos desse dodecaedro medem 90 + 60 = 150. Logo, regular. b) tomando o quadrado de lado  EMBED Equation.3  como unidade de rea, calcule a rea desse dodecgono. Soluo. O hexgono interno possui lado de mesma medida do lado do quadrado e do tringulo equiltero. H no total, 6 tringulos equilteros, 1 hexgono e 6 quadrados. Temos:  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) As figuras abaixo representam as formas e as dimenses, em decmetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paraleleppedo retngulo com arestas x, x e 5.  A diferena entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens expressa por  EMBED Equation.3 , em dm3. Considerando essa equao: a) Demonstre que 6 uma de suas razes; Soluo. Se 6 for raiz, substituindo x = 6 no primeiro membro, encontra-se o resultado 36. Verificao: (6)3 5.(6)2 = 216 5.(36) = 216 180 = 36. Logo, x = 6 raiz. b) Calcule as suas razes complexas. Soluo. A equao x3 5x2 36 = 0. Aplicando o distributivo de Briot-Ruffini, temos: O quociente Q(x) = x2 + x + 6. Encontrando as razes, temos:  EMBED Equation.3 . 6. (UERJ) Trs barracas de frutas, B1, B2 e B3, so propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas so controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento  EMBED Equation.3  representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas  EMBED Equation.3  e  EMBED Equation.3 , em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira:  EMBED Equation.3 . Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) Arrecadado a mais pela barraca  EMBED Equation.3  em relao barraca  EMBED Equation.3 ; Soluo. De acordo com as informaes do problema, temos: i) B1 + B2 = b12; B1 + B3 = b13; B2 + B3 = b23; ii) Os valores das diagonais valem somas de valores de uma mesma barraca. Como os valores pedidos referem-se a B1 e B2, montamos o sistema.  EMBED Equation.3 . A diferena mostra que B3 arrecadou 1200 reais a mais que a barraca B2. b) Arrecadado em conjunto pelas trs barracas. Soluo. Encontrando os valores arrecadados temos:  EMBED Equation.3 . Foram arrecadados em conjunto R$3400,00. 7. (UERJ) A tabela a seguir apresenta os preos unitrios de trs tipos de frutas e os nmeros de unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira.  A arrecadao obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto escalar de  EMBED Equation.3  por  EMBED Equation.3 . Determine: a) O valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mames, quinze abacaxis e vinte meles; Soluo. O produto escalar calculado pela soma dos produtos das respectivas coordenadas dos vetores:  EMBED Equation.3 . b) o cosseno do ngulo formado pelos vetores  EMBED Equation.3  e  EMBED Equation.3 , sabendo que x, y, z so respectivamente proporcionais a 3, 2, 1. Soluo. Utilizando a frmula do cosseno entre vetores, temos:  EMBED Equation.3 . 8. (UERJ) Durante um perodo de 8 horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo: - Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relao ao nmero de frutas da hora anterior. - Nas (8 - t) horas restantes, diminui 10% em relao ao nmero de frutas da hora anterior. Calcule: a) O percentual do nmero de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t = 2. Soluo. Nas t horas iniciais, temos:  EMBED Equation.3 . Nas (8 t) horas restantes, temos:  EMBED Equation.3 . Utilizando a 1 expresso de f(t), temos:  EMBED Equation.3 . Logo, restam 64%. b) O valor de t, admitindo que, ao final do perodo de 8 horas, h na barraca, 32% das frutas que havia inicialmente. (Considere log2=0,30 e log3=0,48). Soluo. Ao final do perodo, utilizamos a 2 expresso para f(t):  EMBED Equation.3 . O perodo ser de 3 horas. 9. (UERJ) Em uma barraca de frutas, as laranjas so arrumadas em camadas retangulares, obedecendo seguinte disposio: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustrao a seguir.  Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do tringulo de Pascal pode ser calculada pela frmula  EMBED Equation.3 , na qual n e p so nmeros naturais, n e" p e  EMBED Equation.3  corresponde ao nmero de combinaes simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informaes, calcule: a) a soma  EMBED Equation.3 ; Soluo. Utilizando os conceitos binomiais, temos: a)  EMBED Equation.3 . b) o nmero total de laranjas que compem quinze camadas. b) As camadas de laranjas podem ser representaes de nmeros binomiais em colunas. Observando as primeiras representaes do triangulo de Pascal, temos que a 3 coluna multiplicada por 2 fornece a quantidade indicada de laranjas por camadas:   EMBED Equation.3 . b) Soluo 2. Observe que (2, 6, 12, 20,...) uma progresso aritmtica de 2 ordem, pois subtraindo uma vez o termo pelo antecessor, temos a progresso aritmtica de razo 2: (4, 6, 8,...). Temos:  EMBED Equation.3 . 10. (UERJ) No grfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seu Custdio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preo do quilograma de batatas tambm diminui.  a) Calcule a reduo percentual do preo do quilograma das batatas a partir das 12 horas. Soluo. De acordo com o grfico, com a venda de 60kg de batatas so arrecadados R$72,00. Logo, o quilograma da batata, antes das 12 horas, custa:  EMBED Equation.3 . Aps s 12 horas, temos:  EMBED Equation.3 . A variao percentual :  EMBED Equation.3 . Isto representa uma reduo de 25%. b) Se o preo no diminusse, teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg. Determine o percentual de V que corresponde perda causada pela reduo do preo. Soluo. Os pontos (60, 72) e (0, 0) esto sobre a mesma reta que representa uma funo afim. Encontrando a lei da funo e calculando o valor arrecadado para 80kg, temos:  EMBED Equation.3 . Como foram arrecadados R$90,00 o percentual de V ser:  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2007 1. (UERJ) Os anos do calendrio chins, um dos mais antigos que a histria registra, comeam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendrio gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calendrio.  Admita que, pelo calendrio gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 D.C., ano da serpente no calendrio chins. Desde ento, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemorao. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante. Determine, no calendrio gregoriano, o ano do sculo XXI em que a fundao dessa cidade ser comemorada novamente no ano da serpente. 2. (UERJ) Observe a equao qumica que representa a fermentao do acar:  Uma das formas de equilibrar essa equao igualar, em seus dois membros, as quantidades de tomos de cada elemento qumico. Esse processo d origem ao seguinte sistema linear:  EMBED Equation.3 . Determine o conjunto-soluo do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que formam uma das solues desse sistema. UTILIZE AS INFORMAES A SEGUIR PARA RESPONDER S QUESTES DE NMEROS 03 A 06. Joo recorta um crculo de papel com 10cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio vrias vezes, conforme ilustrado Abaixo.  Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o nmero 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, Joo escreve a soma dos nmeros que esto nas extremidades de cada arco. As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.  3. (UERJ) Joo continuou o processo de dobradura, escrevendo os nmeros, conforme a descrio acima, at concluir dez etapas. Calcule a soma de todos os nmeros que estaro escritos na etapa 10. 4. (UERJ) A figura correspondente etapa 3 foi colada em uma roleta, que aps ser girada pode parar, ao acaso, em apenas oito posies distintas. Uma seta indica o nmero correspondente a cada posio, como ilustra a figura abaixo.  Joo girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os nmeros indicados pela seta aps cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses nmeros ser par. 5. (UERJ) Considere que Joo recortou a dobradura referente figura da etapa 3 na linha que corresponde corda AB indicada abaixo. Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedao recortado, que havia formado o seguinte polgono:   Calcule a rea da parte do crculo que foi retirada pelo corte. 6. (UERJ) Considere, novamente, o polgono formado por Joo, do qual so retirados dois tringulos issceles. Com os tringulos restantes possvel formar a superfcie lateral de uma pirmide hexagonal regular.  Calcule as medidas da altura e da aresta da base dessa pirmide. 7. (UERJ) A International Electrotechnical Commission IEC padronizou as unidades e os smbolos a serem usados em Telecomunicaes e Eletrnica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar mltiplos binrios so formados a partir de prefixos j existentes no Sistema Internacional de Unidades SI, acrescidos de bi, primeira slaba da palavra binrio. A tabela abaixo indica a correspondncia entre algumas unidades do SI e da IEC. Um fabricante de equipamentos de informtica, usurio do SI, anuncia um disco rgido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computao, essa medida corresponde a p 230 bytes. Considere a tabela de logaritmos a seguir.  Calcule o valor de p. 8. (UERJ) A foto abaixo mostra um tnel cuja entrada forma um arco parablico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m.  Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parbola. Ao entrar no tnel, um caminho com altura AP igual a 2,45m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parablico. Calcule a distncia do ponto P ao eixo vertical Oy. UTILIZE AS INFORMAES A SEGUIR PARA RESPONDER S QUESTES DE NMEROS 9 E 10.  9. (UERJ) Sabe-se que, em qualquer base, o acrscimo de zeros esquerda da representao de um nmero no altera seu valor. Os nmeros (301)7 e (0301)7 so, portanto, iguais e formados por trs algarismos. Calcule, no sistema de numerao de base 7, a quantidade total de nmeros que possuem somente quatro algarismos distintos. 10. (UERJ) Admita a possibilidade de contar objetos de duas formas, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, obtemos: (2343)x = (534)x+3. Calcule o valor da base x e as outras duas razes da equao resultante.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2007 - GABARITO 1. (UERJ) Os anos do calendrio chins, um dos mais antigos que a histria registra, comeam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendrio gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calendrio.  Admita que, pelo calendrio gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 D.C., ano da serpente no calendrio chins. Desde ento, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemorao. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante. Determine, no calendrio gregoriano, o ano do sculo XXI em que a fundao dessa cidade ser comemorada novamente no ano da serpente. Soluo. O ano da serpente ocorre a cada 12 anos e a festa da cidade ocorre a cada 15 anos. Logo as festas ocorrero simultaneamente de 60 em 60 anos, pois MMC(12,15) = 60. Iniciando de 1089, temos:  EMBED Equation.3 . 2. (UERJ) Observe a equao qumica que representa a fermentao do acar:  Uma das formas de equilibrar essa equao igualar, em seus dois membros, as quantidades de tomos de cada elemento qumico. Esse processo d origem ao seguinte sistema linear:  EMBED Equation.3 . Determine o conjunto-soluo do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que formam uma das solues desse sistema. Soluo. Igualando a 1 equao com a 3 equao, temos:  EMBED Equation.3 . Na 2 equao, temos que 2x = z. Logo o sistema indeterminado e a soluo : S = {(x, 2x, 2x). A menor soluo ser para x = 1: S = {(1, 2, 2)}. UTILIZE AS INFORMAES A SEGUIR PARA RESPONDER S QUESTES DE NMEROS 03 A 06. Joo recorta um crculo de papel com 10cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio vrias vezes, conforme ilustrado Abaixo.  Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o nmero 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, Joo escreve a soma dos nmeros que esto nas extremidades de cada arco. As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.  3. (UERJ) Joo continuou o processo de dobradura, escrevendo os nmeros, conforme a descrio acima, at concluir dez etapas. Calcule a soma de todos os nmeros que estaro escritos na etapa 10. Soluo. Observando as somas em cada etapa, temos:  EMBED Equation.3 . 4. (UERJ) A figura correspondente etapa 3 foi colada em uma roleta, que aps ser girada pode parar, ao acaso, em apenas oito posies distintas. Uma seta indica o nmero correspondente a cada posio, como ilustra a figura abaixo.  Joo girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os nmeros indicados pela seta aps cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses nmeros ser par. Soluo. O espao amostral corresponde a oito nmeros. H dois pares e seis mpares. Os eventos so independentes. Para que a soma seja par, os resultados devem ser (par, par) ou (mpar, mpar).  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) Considere que Joo recortou a dobradura referente figura da etapa 3 na linha que corresponde corda AB indicada abaixo. Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedao recortado, que havia formado o seguinte polgono:  Calcule a rea da parte do crculo que foi retirada pelo corte. Soluo. H oito partes retiradas. Elas correspondem diferena entre a rea do crculo e a soma das reas dos tringulos issceles de ngulo central igual a 45. Temos:  EMBED Equation.3 . 6. (UERJ) Considere, novamente, o polgono formado por Joo, do qual so retirados dois tringulos issceles. Com os tringulos restantes possvel formar a superfcie lateral de uma pirmide hexagonal regular.  Calcule as medidas da altura e da aresta da base dessa pirmide. Soluo. A pirmide hexagonal ter aresta da base medindo a cuja medida tambm ser do raio da circunferncia que circunscreve a base. Calculando os elementos indicados, temos:  EMBED Equation.3 . 7. (UERJ) A International Electrotechnical Commission IEC padronizou as unidades e os smbolos a serem usados em Telecomunicaes e Eletrnica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar mltiplos binrios so formados a partir de prefixos j existentes no Sistema Internacional de Unidades SI, acrescidos de bi, primeira slaba da palavra binrio. A tabela abaixo indica a correspondncia entre algumas unidades do SI e da IEC.  Um fabricante de equipamentos de informtica, usurio do SI, anuncia um disco rgido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computao, essa medida corresponde a p 230 bytes. Considere a tabela de logaritmos a seguir.  Calcule o valor de p. Soluo. De acordo com 1 tabela, temos:  EMBED Equation.3 . Utilizando os valores da figura 2, temos:  EMBED Equation.3 . 8. (UERJ) A foto abaixo mostra um tnel cuja entrada forma um arco parablico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m.  Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parbola. Ao entrar no tnel, um caminho com altura AP igual a 2,45m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parablico. Calcule a distncia do ponto P ao eixo vertical Oy. Soluo. O arco de parbola est localizado de forma que o eixo de simetria seja x = 0. Logo se AB = 8, ento A = 4 e B = 4, considerando que so razes e opostas pelo eixo. O ponto C a interseo da parbola com o eixo Y e coincide com o mximo. Desta forma, conclumos que: i) f(x) = ax2 + c. O valor de b nulo, pois a soma das razes ( 4) + 4 = 0. Logo, S = b/2 = 0 ( b = 0. ii) a < 0, pois a concavidade da parbola para baixo. O produto das razes P = ( 4).(4) = 16. Pela relao de Girard P = c/a = 5,6/a ( 5,6/a = 16 ( a = 5,6/16. A distncia pedida a abscissa x cuja imagem a altura do caminho 2,45m. Substituindo na funo, temos:  EMBED Equation.3 . UTILIZE AS INFORMAES A SEGUIR PARA RESPONDER S QUESTES DE NMEROS 9 E 10.  9. (UERJ) Sabe-se que, em qualquer base, o acrscimo de zeros esquerda da representao de um nmero no altera seu valor. Os nmeros (301)7 e (0301)7 so, portanto, iguais e formados por trs algarismos. Calcule, no sistema de numerao de base 7, a quantidade total de nmeros que possuem somente quatro algarismos distintos. Soluo. No sistema de numerao de base 7 os algarismos so {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto , os restos possveis na diviso por 7. Como no se considera zero esquerda as possibilidades iniciam com seis algarismos:  EMBED Equation.3 . Logo h 720 nmeros distintos. 10. (UERJ) Admita a possibilidade de contar objetos de duas formas, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, obtemos: (2343)x = (534)x+3. Calcule o valor da base x e as outras duas razes da equao resultante. Soluo. Escrevendo as contagens nas respectivas bases, temos:  EMBED Equation.3 . Essa equao algbrica possui uma raiz inteira e positiva, pois representa a base. Pela pesquisa de razes as possibilidades so: {1; 5; 11; 55; 1/2; 5/2; 11/2; 55/2}. Destas opes para a base, o valor 5 o mais indicado. Verificando se raiz, temos: 2(5)3 2(5)2 29(5) 55 = 250 50 145 55 = 250 250 = 0. Logo, x = 5 a base. Para encontrar as outras razes, aplicamos o dispositivo Briot-Ruffini.  O quociente Q(x) = 2x2 + 8x + 11 = 0. Resolvendo, vem:  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo - 2008 1. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007. Com base na tabela, possvel formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o nmero de medalhas do tipo j que o pas i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1,2,3}. Para fazer uma outra classificao desses pases, so atribudos s medalhas os seguintes valores: ouro: 3 pontos; prata: 2 pontos; bronze: 1 ponto. Esses valores compem a matriz  EMBED Equation.3 . Determine, a partir do clculo do produto AV, o nmero de pontos totais obtidos pelos trs pases separadamente. 2. (UERJ) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espaadas foi usado em uma aula sobre rea de polgonos. A figura abaixo representa o tabuleiro com um elstico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. Considere u a unidade de rea equivalente ao menor quadrado que pode ser construdo com vrtices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a rea do quadriltero ABCD formado pelo elstico. 3. (UERJ) O peso P de um objeto, a uma altura h acima do nvel do mar, satisfaz a seguinte equao:  EMBED Equation.3 , onde P0: peso do objeto ao nvel do mar; r: raio da Terra. Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se encontra a uma altura h1. Calcule, em funo de r, o valor de h1. 4. (UERJ) Uma fbrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e caramelo. O custo de produo dos bombons de morango de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produo so desprezveis. Sabe-se que cada caixa vendida por R$7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produo de cada bombom. Calcule o nmero de bombons de cada sabor contidos em uma caixa. 5. (UERJ) Moedas idnticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo disposio apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes. Considerando que a ltima camada composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumao. 6. (UERJ) Considere um setor circular AOC, cujo ngulo central  medido em radianos. A reta que tangencia o crculo no extremo P do dimetro CP encontra o prolongamento do dimetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura.  Sabendo que o ngulo  satisfaz a igualdade tg = 2, calcule a razo entre a rea do setor AOC e a rea do tringulo OPQ. 7. (UERJ) Uma partcula parte do ponto A(2; 0), movimentando-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano. O grfico abaixo exemplifica uma trajetria dessa partcula, durante 11 segundos, que pode ser descrita pela sequencia de movimentos CDCDCCDDDCC. Admita que a partcula faa outra trajetria composta somente pela sequencia de movimentos CDD, que se repete durante 5 minutos, partindo de A. Determine a equao da reta que passa pela origem O (0,0) e pelo ltimo ponto dessa nova trajetria. 8. (UERJ) Um cilindro circular reto inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois slidos sejam colineares, conforme representado na ilustrao. A altura do cone e o dimetro da sua base medem, cada um, 12cm. Admita [que as medidas, em centmetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0;12[ de modo que ele permanea inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua rea lateral seja mxima. 9. (UERJ) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelo de espessura desprezvel e 8dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustrao. Em seguida, o papelo foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paraleleppedo retngulo, de altura x, como mostram os esquemas.  Quando x = 2dm, o volume da caixa igual a 8dm3. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8dm3. 10. (UERJ) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T definido pela seguinte equao:  EMBED Equation.3  Sabe-se que T assume seu valor mximo, 50, no ponto (2,0). Calcule a rea da regio que corresponde ao conjunto dos pontos do plano cartesiano para os quais T e" 20.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA  Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo  2008 - GABARITO 1. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007. Com base na tabela, possvel formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o nmero de medalhas do tipo j que o pas i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1,2,3}. Para fazer uma outra classificao desses pases, so atribudos s medalhas os seguintes valores: ouro: 3 pontos; prata: 2 pontos; bronze: 1 ponto. Esses valores compem a matriz  EMBED Equation.3 . Determine, a partir do clculo do produto AV, o nmero de pontos totais obtidos pelos trs pases separadamente. Soluo. Organizando as matrizes de forma a ser possvel o produto das matrizes, temos:  EMBED Equation.3 . Estados Unidos: 519; Cuba: 288 e Brasil: 309. 2. (UERJ) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espaadas foi usado em uma aula sobre rea de polgonos. A figura abaixo representa o tabuleiro com um elstico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. Considere u a unidade de rea equivalente ao menor quadrado que pode ser construdo com vrtices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a rea do quadriltero ABCD formado pelo elstico. Soluo. Fechando um retngulo de dimenses 9 x 5, temos uma rea de 45. So identificados em volta do quadriltero quatro tringulos retngulos: 1, 2, 3 e 4. Calculando suas reas e a diferena em relao ao retngulo, temos:  EMBED Equation.3 . 3. (UERJ) O peso P de um objeto, a uma altura h acima do nvel do mar, satisfaz a seguinte equao:  EMBED Equation.3 , onde P0: peso do objeto ao nvel do mar; r: raio da Terra. Sabe-se que P equivale a 81% de P0 quando o objeto se encontra a uma altura h1. Calcule, em funo de r, o valor de h1. Soluo. Substituindo o valor indicado de P em relao a P0, temos:  EMBED Equation.3 . 4. (UERJ) Uma fbrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e caramelo. O custo de produo dos bombons de morango de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produo so desprezveis. Sabe-se que cada caixa vendida por R$7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produo de cada bombom. Calcule o nmero de bombons de cada sabor contidos em uma caixa. Soluo. Cada bombom com o lucro passa a custar: i) morango: R$0,10 x (1,2) = R$0,12 ii) caramelo: R$0,20 x (1,20) = R$0,24 Considerando x o nmero de bombons de morango e y o nmero de bombons de caramelo, temos:  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) Moedas idnticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo disposio apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes. Considerando que a ltima camada composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumao. Soluo. A partir da 2 camada o nmero de moedas so 6, 12, 18,... Isto uma progresso aritmtica de razo 6. O nmero de camadas e o total de moedas valem:  EMBED Equation.3 . 6. (UERJ) Considere um setor circular AOC, cujo ngulo central  medido em radianos. A reta que tangencia o crculo no extremo P do dimetro CP encontra o prolongamento do dimetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. Sabendo que o ngulo  satisfaz a igualdade tg = 2, calcule a razo entre a rea do setor AOC e a rea do tringulo OPQ. Soluo. O tringulo OPQ retngulo em P, pois ponto de tangncia. Encontrando as reas respectivas e a razo pedida, temos:  EMBED Equation.3 . 7. (UERJ) Uma partcula parte do ponto A(2; 0), movimentando-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano. O grfico abaixo exemplifica uma trajetria dessa partcula, durante 11 segundos, que pode ser descrita pela sequencia de movimentos CDCDCCDDDCC. Admita que a partcula faa outra trajetria composta somente pela sequencia de movimentos CDD, que se repete durante 5 minutos, partindo de A. Determine a equao da reta que passa pela origem O (0,0) e pelo ltimo ponto dessa nova trajetria. Soluo. O movimento CDD, indica que haver sempre o dobro de passos para direita do que foi para cima. Aps 5 minutos passaram-se 5.(60) = 300 segundos. Como a partida foi do ponto (2,0), a posio final (x + 2,y) com x = 2y. O total de movimentos ser x + y = 2y + y = 300 ( y = 100 e x = 2(100) = 200. A equao pedida passa pelos pontos (0,0) e (202,100):  EMBED Equation.3 . 8. (UERJ) Um cilindro circular reto inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois slidos sejam colineares, conforme representado na ilustrao. A altura do cone e o dimetro da sua base medem, cada um, 12cm. Admita [que as medidas, em centmetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0;12[ de modo que ele permanea inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua rea lateral seja mxima. Soluo. A rea lateral do cilindro dada por Al = 2(rh. Estabelecendo a semelhana do tringulo sombreado, temos:  EMBED Equation.3 . 9. (UERJ) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelo de espessura desprezvel e 8dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustrao. Em seguida, o papelo foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paraleleppedo retngulo, de altura x, como mostram os esquemas. Quando x = 2dm, o volume da caixa igual a 8dm3. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8dm3. Soluo. Observe a figura com as dimenses finais aps a dobradura. Igualando o valor do volume ao produto das dimenses, temos:  EMBED Equation.3 . Como x = 2, j raiz, aplicamos o dispositivo Briot-Ruffini. O quociente de grau 2 : Q(x) = 3x2 14x + 4. Encontrando os zeros, temos:  EMBED Equation.3 . 10. (UERJ) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T definido pela seguinte equao:  EMBED Equation.3  Sabe-se que T assume seu valor mximo, 50, no ponto (2,0). Calcule a rea da regio que corresponde ao conjunto dos pontos do plano cartesiano para os quais T e" 20. Soluo. Para T e" 20, temos:  EMBED Equation.3 . Logo a rea pedida a da circunferncia indicada:  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2009 1. (UERJ) Admita dois nmeros inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divises de a e b por 8 so, respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da diviso do produto a.b por 8. 2. (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olmpica de ouro na modalidade salto a distncia. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: - todos os saltos de ordem mpar foram vlidos e os de ordem par, invlidos; - O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente cada salto aumentou sua medida em 3cm. O ltimo salto foi de ordem mpar e atingiu a marca de 7,22m Calcule n. 3. (UERJ) Em um salo h apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem danar. Calcule o nmero total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para danar. Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo: A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa s poder ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. H, portanto, 12 6 = 72 modos de formar um casal. Essa soluo est errada. Apresente a soluo correta. 4. (UERJ) A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esfrica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo  EMBED Equation.3 , determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relao ao volume da caixa. 5. (UERJ) Observe a parbola de vrtice V, grfico da funo quadrtica definida por y = ax2 + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B. Calcule o valor numrico de  EMBED Equation.3 sabendo que o tringulo ABV equiltero. 6. (UERJ) Em uma folha de frmica retangular ABCD, com 15dm de comprimento EMBED Equation.3  por 10dm de largura  EMBED Equation.3 um marceneiro traa dois segmentos de reta,  EMBED Equation.3  e  EMBED Equation.3 . No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseo desses segmentos. A figura representa a folha de frmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. Considerando a medida do segmento EMBED Equation.3  igual a 5dm, determine as coordenadas do ponto F. 7. (UERJ) (Uma sequencia de trs nmeros no nulos (a, b, c) est em progresso harmnica se seus inversos  EMBED Equation.3 , nesta ordem, formam uma progresso aritmtica. As razes da equao a seguir, de incgnita x, esto em progresso harmnica:  EMBED Equation.3 . Considerando o conjunto dos nmeros complexos, apresente todas as razes dessa equao. 8. (UERJ) Observe a curva AEFB desenhada abaixo.  Analise os passos seguidos em sua construo: 1) traar um semicrculo de dimetro  EMBED Equation.3  com centro C e raio 2cm; 2) traar o segmento  EMBED Equation.3 , perpendicular a  EMBED Equation.3 , partindo do ponto C e encontrando o ponto D, pertencente ao arco AB; 3) construir o arco circular AE, de raio  EMBED Equation.3  e centro B, sendo E a interseo com o prolongamento do segmento  EMBED Equation.3 , no sentido B para D; 4) construir o arco circular BF, de raio  EMBED Equation.3  e centro A, sendo F a interseo com o prolongamento do segmento  EMBED Equation.3 , no sentido A para D; 5) desenhar o arco circular EF com centro D e raio  EMBED Equation.3 . Determine o comprimento, em centmetros, da curva AEFB. 9. (UERJ) Os baralhos comuns so compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados copas, espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles. Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K so denominadas, respectivamente, s, valete, dama e rei. Uma criana rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, no rasgadas, foram guardadas em uma caixa. A tabela ao lado apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas: Calcule o valor de n. 10. (UERJ) Considere o teorema e os dados a seguir para a soluo desta questo. Se  EMBED Equation.3  e EMBED Equation.3  so trs ngulos agudos diferentes de  EMBED Equation.3 , ento  EMBED Equation.3 . a, b e c so trs ngulos agudos, sendo  EMBED Equation.3  Calcule tg(a b + c).  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo 2009 - GABARITO 1. (UERJ) Admita dois nmeros inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divises de a e b por 8 so, respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da diviso do produto a.b por 8. Soluo. Expressando as divises indicadas e agrupando os mltiplos de 8, temos:  EMBED Equation.3 . O resto de (ab) na diviso por 8 r = 3. 2. (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olmpica de ouro na modalidade salto a distncia. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: - todos os saltos de ordem mpar foram vlidos e os de ordem par, invlidos; - O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente cada salto aumentou sua medida em 3cm. O ltimo salto foi de ordem mpar e atingiu a marca de 7,22m Calcule n. Soluo. Os saltos validados foram a1, a3, a5, .... Escrevendo a expresso do termo geral para a razo 3cm e considerando n o nmero de saltos de ordem mpar, temos:  EMBED Equation.3 . Como houve 7 saltos de ordem mpar iniciando com a1 e finalizando com a13. Houve 6 saltos de ordem par. Logo n = 7 + 6 = 13. 3. (UERJ) Em um salo h apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem danar. Calcule o nmero total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para danar. Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo: A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa s poder ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. H, portanto, 12 6 = 72 modos de formar um casal. Essa soluo est errada. Apresente a soluo correta. Soluo. Analisando a resposta do estudante, o erro est no fato de no levar em conta que se Joo fosse escolhido entre as 12 primeiras escolhas e danasse com Maria escolhida dentre as 6 seria o mesmo par caso Maria fosse a primeira a ser escolhida dentre as 12 e Joo dentre os 6. Logo faltou dividir o nmero de casos por 2. Total 36. Uma soluo diferente : Cada uma das 6 mulheres escolhe seu par. Assim, M1 tem 6 homens para escolher, M2 tambm pode escolher 6, sucessivamente at M6. Logo h 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 36 formas diferentes de formar um casal. 4. (UERJ) A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esfrica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo  EMBED Equation.3 , determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relao ao volume da caixa. Soluo. A 2 figura mostra o raio da esfera valendo o aptema do tringulo equiltero. A base da caixa o tringulo equiltero e a altura do prisma vale o dimetro da esfera.  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) Observe a parbola de vrtice V, grfico da funo quadrtica definida por y = ax2 + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B. Calcule o valor numrico de  EMBED Equation.3 sabendo que o tringulo ABV equiltero. Soluo. A concavidade para cima, logo a > 0. As razes da funo quadrtica so dadas A e B:  EMBED Equation.3 . As razes so diferentes, ( > 0. Logo, ( = b2 4ac = 12. 6. (UERJ) Em uma folha de frmica retangular ABCD, com 15dm de comprimento EMBED Equation.3  por 10dm de largura  EMBED Equation.3 um marceneiro traa dois segmentos de reta,  EMBED Equation.3  e  EMBED Equation.3 . No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseo desses segmentos. A figura representa a folha de frmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. Considerando a medida do segmento EMBED Equation.3  igual a 5dm, determine as coordenadas do ponto F. Soluo. Identificando as coordenadas dos pontos no sistema de eixo, temos que o ponto F ser a interseco da retas r que passa por A e E com a reta s que passa por D e B.  EMBED Equation.3 . 7. (UERJ) (Uma sequencia de trs nmeros no nulos (a, b, c) est em progresso harmnica se seus inversos  EMBED Equation.3 , nesta ordem, formam uma progresso aritmtica. As razes da equao a seguir, de incgnita x, esto em progresso harmnica:  EMBED Equation.3 . Considerando o conjunto dos nmeros complexos, apresente todas as razes dessa equao. SOLUO. Se a, b e c so as razes e EMBED Equation.3  formam uma progresso aritmtica, ento podemos escrever:  EMBED Equation.3 . Substituindo temos:  EMBED Equation.3 . A equao ento : x3 7x + 15x 25 = 0. E x = 5 uma das razes. Utilizando Briot-Rufini, vem: Resolvendo x2 2x + 5 = 0, vem:  EMBED Equation.3 . As razes so: {5; 1 2i; 1 + 2i}. 8. (UERJ) Observe a curva AEFB desenhada abaixo. Analise os passos seguidos em sua construo: (1) traar um semicrculo de dimetro  EMBED Equation.3  com centro C e raio 2cm; (2) traar o segmento  EMBED Equation.3 , perpendicular a  EMBED Equation.3 , partindo do ponto C e encontrando o ponto D, pertencente ao arco AB; (3) construir o arco circular AE, de raio  EMBED Equation.3  e centro B, sendo E a interseo com o prolongamento do segmento  EMBED Equation.3 , no sentido B para D; (4) construir o arco circular BF, de raio  EMBED Equation.3  e centro A, sendo F a interseo com o prolongamento do segmento  EMBED Equation.3 , no sentido A para D; (5) desenhar o arco circular EF com centro D e raio  EMBED Equation.3 . Determine o comprimento, em centmetros, da curva AEFB. Soluo. O tringulo ABD retngulo issceles, pois AB dimetro. Assim x + y = 4. Os arcos AE e BF so congruentes e limitados por ngulos de 45. O arco EF, limitado pelo ngulo de 90.  EMBED Equation.3 . 9. (UERJ) Os baralhos comuns so compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados copas, espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles. Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K so denominadas, respectivamente, s, valete, dama e rei. Uma criana rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, no rasgadas, foram guardadas em uma caixa. A tabela ao lado apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas.Calcule o valor de n. Soluo. Como h rei de copas em um baralho, esta carta a interseo do conjunto das cartas que so reis e do conjunto de copas. Temos:   EMBED Equation.3 . 10. (UERJ) Considere o teorema e os dados a seguir para a soluo desta questo. Se  EMBED Equation.3  e EMBED Equation.3  so trs ngulos agudos diferentes de  EMBED Equation.3 , ento  EMBED Equation.3 . a, b e c so trs ngulos agudos, sendo  EMBED Equation.3 . Calcule tg(a b + c). Soluo. Considere (a + c) = (. Temos:  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2010 1) Duas empresas, A e B, faro doaes mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em reais, dos depsitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010. EmpresasJaneiroFevereiroMaroAbrilMaioA12.000,0011.400,0010.800,0010.200,009.600,00B300,00600,00900,001.200,001.500,00 A diferena entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes ser mantida constante ao longo de um determinado perodo. Determine o ms e o ano desse perodo em que o valor mensal do depsito da empresa A ser igual ao da empresa B. 2) Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N so os pontos mdios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.  O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retngulo cuja base seja maior que a altura. O retngulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. Calcule a razo  EMBED Equation.3 . 3) Um cofre eletrnico possui um painel com dez teclas numricas e pode ser aberto por meio da digitao, em qualquer ordem, de trs teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante.Considere n o nmero mximo de conjuntos distintos de trs teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas envolvidas (azuis) representam as habilitadas previamente. Se o fabricante reduzisse para cinco o nmero de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de trs teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n - m. 4) Uma criana guarda moedas de R$1,00 e de R$0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na caixa amarela, h, exatamente, 12 moedas de R$1,00 e 15 moedas de R$0,50. Admita que, aps a transferncia de n moedas de R$1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$1,00 da caixa amarela seja igual a 50%. Calcule o valor de n. 5) Uma caixa cbica foi dividida em duas partes por um plano que contm duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme ilustrado. Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisria, calcule a razo entre o volume do cilindro e o da caixa. 6) Sejam a e b dois nmeros reais positivos e A, G e H, respectivamente, as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica desse nmeros. Admita de a > b e que a sequncia (A, G, H) seja uma progresso geomtrica de razo  EMBED Equation.3 . Determine  EMBED Equation.3 . 7) Um terreno retangular tem 800m de permetro e ser dividido pelos segmentos PA e CQ em trs partes, como mostra a figura. Admita que os segmentos de reta PA e CQ esto contidos nas bissetrizes de dois ngulos retos do terreno e que a rea do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir. 8) Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O nmero total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas cinco marcaram mais de 13 gols. Calcule o nmero de atletas que fizeram 15 gols. 9) Suponha que x e y so nmeros reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir:  EMBED Equation.3  Calcule a razo  EMBED Equation.3 . 10) As seis solues da equao z6 + z3 + 1 = 0 so nmeros complexos que possuem mdulos iguais e argumentos distintos. O argumento , em radianos, de uma dessas solues pertence ao intervalo  EMBED Equation.3 . Determine a medida de .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA  Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2010 - GABARITO 1) Duas empresas, A e B, faro doaes mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em reais, dos depsitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010. EmpresasJaneiroFevereiroMaroAbrilMaioA12.000,0011.400,0010.800,0010.200,009.600,00B300,00600,00900,001.200,001.500,00 A diferena entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes ser mantida constante ao longo de um determinado perodo. Determine o ms e o ano desse perodo em que o valor mensal do depsito da empresa A ser igual ao da empresa B. Soluo. Os depsitos da empresa A formam uma progresso aritmtica razo (11400 12000) = - 600. Os depsitos da empresa B formam uma progresso aritmtica crescente de razo (600 300) = 300. Escrevendo as expresses do termo geral de cada uma e igualando, temos:  EMBED Equation.3 . Iniciando em janeiro de 2010 os depsitos sero iguais 14 meses depois. Isto , em fevereiro de 2011. 2) Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N so os pontos mdios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retngulo cuja base seja maior que a altura. O retngulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. Calcule a razo  EMBED Equation.3 . Soluo. Observando as medidas correspondentes no quadrado e no retngulo formado, temos:   EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3 . 3) Um cofre eletrnico possui um painel com dez teclas numricas e pode ser aberto por meio da digitao, em qualquer ordem, de trs teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante.Considere n o nmero mximo de conjuntos distintos de trs teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas envolvidas (azuis) representam as habilitadas previamente. Se o fabricante reduzisse para cinco o nmero de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de trs teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n - m. Soluo. Escolhendo um conjunto de trs teclas dentre as seis disponveis, temos:  EMBED Equation.3 . Escolhendo um conjunto de trs teclas dentre as cinco disponveis, temos:  EMBED Equation.3 . Pelas informaes, n = 20 e m = 10. Logo, n m = 20 10 = 10. 4) Uma criana guarda moedas de R$1,00 e de R$0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na caixa amarela, h, exatamente, 12 moedas de R$1,00 e 15 moedas de R$0,50. Admita que, aps a transferncia de n moedas de R$1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$1,00 da caixa amarela seja igual a 50%. Calcule o valor de n. Soluo. A caixa amarela inicialmente possui 27 moedas. Aps a transferncia de n moedas de R$1,00 o total de moedas (27 + n), sendo que (12 + n) moedas so de R$1,00. Estabelecendo a condio pedida, temos:  EMBED Equation.3 . 5) Uma caixa cbica foi dividida em duas partes por um plano que contm duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme ilustrado. Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisria, calcule a razo entre o volume do cilindro e o da caixa. Soluo. Observando a face superior do cubo e os pontos destacados na 2 figura, temos que AP a metade da diagonal da face quadrada.  EMBED Equation.3 . 6) Sejam a e b dois nmeros reais positivos e A, G e H, respectivamente, as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica desse nmeros. Admita de a > b e que a sequncia (A, G, H) seja uma progresso geomtrica de razo  EMBED Equation.3 . Determine  EMBED Equation.3 . Soluo. Escrevendo as condies informadas, temos:  EMBED Equation.3 . A razo pedida :  EMBED Equation.3 . 7) Um terreno retangular tem 800m de permetro e ser dividido pelos segmentos PA e CQ em trs partes, como mostra a figura. Admita que os segmentos de reta PA e CQ esto contidos nas bissetrizes de dois ngulos retos do terreno e que a rea do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir. Soluo. O permetro vale 800m. Considerando as dimenses do terreno como x e y, temos que: i) 2x + 2y = 800 => x + y = 400 => x = 400 y. ii) rea S = (x y).y = xy y2. A expresso da rea S uma funo quadrtica. Substituindo (i) em (ii) e calculando o valor mximo, temos:  EMBED Equation.3 . 8) Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O nmero total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas cinco marcaram mais de 13 gols. Calcule o nmero de atletas que fizeram 15 gols. Soluo. Considerando x, y e z o nmero de jogadores que marcaram, respectivamente, 13, 14 e 15 gols, temos as equaes: y + z = 5 e 13x + 14y + 15z = 125. Como o nmero de jogadores um inteiro positivo os valores com soma 5 sero: (0,5), (5,0), (1,4); (4,1), (2,3) e (3,2). A diferena 125 (14y + 15z) deve ser um mltiplo inteiro de 13. Testando na tabela, temos: yz13x05125 [14.(0) + 15(5)] = 125 75 = 5050125 [14.(5) + 15(0)] = 125 70 = 5514125 [14.(1) + 15(4)] = 125 74 = 5141125 [14.(4) + 15(1)] = 125 71 = 5423125 [14.(2) + 15(3)] = 125 73 = 5232125 [14.(3) + 15(2)] = 125 72 = 53 Somente o 52 mltiplo de 13 (13 x 4 = 52). Logo y = 2 e z = 3. Ento 3 jogadores marcaram 15 gols. 9) Suponha que x e y so nmeros reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir:  EMBED Equation.3  Calcule a razo  EMBED Equation.3 . Soluo. Igualando os termos a uma constante k e escrevendo as respectivas potncias, temos:  EMBED Equation.3 . 10) As seis solues da equao z6 + z3 + 1 = 0 so nmeros complexos que possuem mdulos iguais e argumentos distintos. O argumento , em radianos, de uma dessas solues pertence ao intervalo  EMBED Equation.3 . Determine a medida de . Soluo. Substituindo y = z3, na equao acima, temos: y2 + y + 1 = 0. Esta soluo ser resolvida pela frmula da equao do 2 grau:  EMBED Equation.3 . So duas razes complexas e os valores de z so: i) Para y1.  EMBED Equation.3 . ii) Para y2.  EMBED Equation.3 . Observando as solues, a que apresenta o argumento  no 2 quadrante :  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2011 1) Um supermercado realiza uma promoo com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas plsticas: o cliente que no utilizar as sacolas disponveis no mercado ter um desconto de R$0,03 a cada cinco itens registrados no caixa. Um participante dessa promoo comprou 215 itens e pagou R$155,00. Determine o valor, em reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras e no participasse da promoo. 2) Um trem transportava, em um de seus vages, um nmero inicial n de passageiros. Ao parar em uma estao, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vago 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu aps o desembarque. Dessa forma, o nmero final de passageiros no vago corresponde a 120. Determine o valor de n. 3) Considere a equao:  EMBED Equation.3  com x > 0. Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a soluo dessa equao: O conjunto-soluo encontrado pelo aluno est incompleto. Resolva a equao e determine corretamente o seu conjunto-soluo. 4) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece s seguintes regras: - antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficar voltada para cima, dizendo "cara" ou "coroa"; - quando B errar pela primeira vez, dever escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma nica vez; ao errar pela segunda vez, escrever UERJUERJ, e assim sucessivamente;  - em seu ensimo erro, B escrever n vezes a mesma sigla. Veja o quadro que ilustra o jogo: O jogo terminar quando o nmero total de letras escritas por B, do primeiro ao ensimo erro, for igual a dez vezes o nmero de letras escritas, considerando apenas o ensimo erro. Determine o nmero total de letras que foram escritas at o final do jogo. 5) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A s 15 horas e a vela B, 2cm menor, s 16 horas. s 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o grfico que representa as alturas de cada uma das velas em funo do tempo a partir do qual a vela A foi acesa. Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas. 6) Uma sala tem a forma de um paraleleppedo retngulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ngulo de 45 com o cho e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ngulo de 45 com a parede inicial. Uma sala tem a forma de um paraleleppedo retngulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ngulo de 45 com o cho e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ngulo de 45 com a parede inicial. Observe a ilustrao: Desprezando a espessura do cano, calcule o ngulo BT, formado por suas duas partes. 7) Para a realizao de uma partida de futebol so necessrios trs rbitros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez rbitros, sendo X um deles. Aps essa escolha, um segundo sorteio aleatrio feito entre os trs para determinar qual deles ser o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal. 8) Considere a matriz A3x3 mostrada: Cada elemento desta matriz expresso pela seguinte relao:  EMBED Equation.3 . Nessa relao, os arcos  EMBED Equation.3 so positivos e menores que  EMBED Equation.3  radianos. Calcule o valor numrico do determinante da matriz A. 9) Um arteso retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo: Considere os seguintes dados: " os vrtices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma; " BD = BE = BC = 1 m. Determine o volume inicial da pedra. 10) O grfico mostrado representa uma funo polinomial P de varivel real, que possui duas razes inteiras e definida por: P(x) = x4 3x3 + 2x2 + 16x + m. Determine o valor da constante representada por m e as quatro razes desse polinmio.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2011 - GABARITO 1) Um supermercado realiza uma promoo com o objetivo de diminuir o consumo de sacolas plsticas: o cliente que no utilizar as sacolas disponveis no mercado ter um desconto de R$0,03 a cada cinco itens registrados no caixa. Um participante dessa promoo comprou 215 itens e pagou R$155,00. Determine o valor, em reais, que esse cliente pagaria se fizesse as mesmas compras e no participasse da promoo. Soluo. De acordo com a promoo em 215 itens h 215 5 = 43 grupos de cinco itens. Logo ganhou um desconto R$0,03 x 43 = R$1,29. Sem os descontos pagaria R$155,00 + R$1,29 = R$156,29. 2) Um trem transportava, em um de seus vages, um nmero inicial n de passageiros. Ao parar em uma estao, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vago 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu aps o desembarque. Dessa forma, o nmero final de passageiros no vago corresponde a 120. Determine o valor de n. Soluo. Se inicialmente havia n passageiros, com a parada ficaram somente 80%.n = 0,8n passageiros no interior do trem. Entraram 20%.(0,8n) passageiros. Logo a quantidade final foi a soma de 0,16n + 0,8n = 0,96n passageiros. Esse nmero equivale a 120. Logo, 0,96n = 120 => n = 120 0,96 = 125. 3) Considere a equao:  EMBED Equation.3  com x > 0. Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a soluo dessa equao: O conjunto-soluo encontrado pelo aluno est incompleto. Resolva a equao e determine corretamente o seu conjunto-soluo. Soluo. O erro do aluno foi em cancelar o termo (log2x) nos membros. Essa operao s possvel se for garantido que diferente de zero. O correto seria:  EMBED Equation.3 . 4) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece s seguintes regras:  - antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficar voltada para cima, dizendo "cara" ou "coroa"; - quando B errar pela primeira vez, dever escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma nica vez; ao errar pela segunda vez, escrever UERJUERJ, e assim sucessivamente; - em seu ensimo erro, B escrever n vezes a mesma sigla. Veja o quadro que ilustra o jogo: O jogo terminar quando o nmero total de letras escritas por B, do primeiro ao ensimo erro, for igual a dez vezes o nmero de letras escritas, considerando apenas o ensimo erro. Determine o nmero total de letras que foram escritas at o final do jogo. Soluo. Como so escritas 4 letras a cada erro, forma-se uma progresso aritmtica de razo 4, iniciando com 4 (UERJ). i) Nmero de letras escritas no ensimo erro: an = 4 + (n 1). 4 = 4 + 4n 4 = 4n. ii) Total de letras escritas do 1 ao ensimo erro:  EMBED Equation.3 . iii) Trmino do jogo. Sn = 10.an:  EMBED Equation.3 . Foram escritas at o final do jogo:  EMBED Equation.3 . 5) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A s 15 horas e a vela B, 2cm menor, s 16 horas. s 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o grfico que representa as alturas de cada uma das velas em funo do tempo a partir do qual a vela A foi acesa. Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas. Soluo 1. Considerando a altura da vela menor como h, a vela maior ter altura h + 2. Considerando ainda a altura h relativa interseco dos grficos, estabelecemos uma semelhana entre tringulos para cada caso conforme a figura. Temos:  EMBED Equation.3 . Vela menor mede 6cm e vela maior mede 8cm. Soluo 2. Soluo. Encontrando as equaes das retas A e B e observando que no tempo t = 2 as alturas so iguais, temos:   EMBED Equation.3 . Encontrando o valor de h para t = 2, temos:  EMBED Equation.3 . 6) Uma sala tem a forma de um paraleleppedo retngulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ngulo de 45 com o cho e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ngulo de 45 com a parede inicial. Uma sala tem a forma de um paraleleppedo retngulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ngulo de 45 com o cho e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ngulo de 45 com a parede inicial. Observe a ilustrao: Desprezando a espessura do cano, calcule o ngulo BT, formado por suas duas partes. Soluo. O ngulo pedido est representado por ser calculado utilizando a Lei dos Cossenos. Observando as medidas indicadas, temos:  EMBED Equation.3 . 7) Para a realizao de uma partida de futebol so necessrios trs rbitros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez rbitros, sendo X um deles. Aps essa escolha, um segundo sorteio aleatrio feito entre os trs para determinar qual deles ser o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal. Soluo. Considere P(E1) a probabilidade da X ser escolhido em um trio da forma (XJJ). Temos:  EMBED Equation.3 . Uma vez escolhido o trio queremos a probabilidade de X ser o principal, dado que foi escolhido. Temos:  EMBED Equation.3 . 8) Considere a matriz A3x3 mostrada: Cada elemento desta matriz expresso pela seguinte relao:  EMBED Equation.3 . Nessa relao, os arcos  EMBED Equation.3 so positivos e menores que  EMBED Equation.3  radianos. Calcule o valor numrico do determinante da matriz A. Soluo. Observando os elementos a22 e a33, temos: Calculando os valores dos elementos temos:  EMBED Equation.3  Calculando os valores dos elementos a12 e a13, temos:  EMBED Equation.3 . Como a 2 coluna ser igual 3 coluna, o determinante zero. 9) Um arteso retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo: Considere os seguintes dados: " os vrtices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma; " BD = BE = BC = 1 m. Determine o volume inicial da pedra. Soluo. Observe as medidas representadas na figura e a frmula da rea da base que ser utilizada. O volume da pedra ser calculado pelo produto da base EDB pela altura DF = 1m. O tringulo EDB issceles, mas no equiltero. Conhecemos dois lados e o ngulo, x, formado por eles. Logo a rea ser:  EMBED Equation.3 . Observe que o ngulo x o mesmo formado pelo aptema da base e o aptema do tetraedro. Como regular as faces so tringulos eqilteros. Temos:  EMBED Equation.3 . Aplicando a relao fundamental, temos:  EMBED Equation.3 . Substituindo na frmula da rea e calculando o volume, temos:  EMBED Equation.3 . 10) O grfico mostrado representa uma funo polinomial P de varivel real, que possui duas razes inteiras e definida por: P(x) = x4 3x3 + 2x2 + 16x + m. Determine o valor da constante representada por m e as quatro razes desse polinmio. Soluo. Como o grfico passa por (1,0), temos que 1 raiz. Logo, P(1) = 0 => 1 3 + 2 + 16 + m = 0 => m = - 16. Outra raiz observada pelo grfico x = - 2. Aplicando Briot-Ruffini duas vezes, temos: 11 - 3 2 16 - 16-21 - 2 0 16 01 - 4 8 0 Resolvendo x2 4x + 8 = 0, vem:  EMBED Equation.3 . As razes so: {-2; 1, 2 2i; 2 + 2i}.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo - 2012 1) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispe da quantia X, em reais. O preo do produto A corresponde a 2/3 de X, e o do produto B corresponde frao restante. No momento de efetuar o pagamento, uma promoo reduziu em 10% o preo de A. Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor, em reais, que o cliente deixou de gastar. Utilize as informaes a seguir para responder s questes de nmeros 2 e 3. Na tabela abaixo, esto indicados os preos do rodzio de pizzas de um restaurante. DIAS DA SEMANAVALOR UNITRIO DO RODZIO (R$)Segunda-feira, tera-feira, quarta-feira e quinta-feira.18,50Sexta-feira, sbado e domingo.22,00 2) Considere um cliente que foi a esse restaurante todos os dias de uma mesma semana, pagando um rodzio em cada dia. Determine o valor mdio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodzio nessa semana. 3) Considere agora outro cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para comer pizzas nesse sistema de rodzio, pagando tambm um rodzio em cada dia. Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mnimo possvel. 4) Distncia de frenagem aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio acionado at o momento em que ele para. Essa distncia diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o carro est desenvolvendo no instante em que o freio acionado. O grfico abaixo indica a distncia de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em funo de sua velocidade v, em quilmetros por hora. Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcanar a velocidade de 100 km/h. Calcule sua distncia de frenagem, em metros. 5) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadriltero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. As varetas esto representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a rea total da pipa. Os segmentos AC e BD so perpendiculares em E, e os ngulos ABC e ADC so retos. Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18cm e 32cm, determine o comprimento total da linha, representada por AB + BC + CD + DA. 6) Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por nmeros, foi utilizado um sistema no qual cada letra do alfabeto est associada a um nico nmero n, formando a sequncia de 26 nmeros ilustrada na tabela: LetraABCDE...WXYZNmero n12345...23242526 Para utilizar o sistema, cada nmero n, correspondente a uma determinada letra, transformado em um nmero f (n), de acordo com a seguinte funo:  EMBED Equation.3 , na qual n T IN. As letras do nome ANA, por exemplo, esto associadas aos nmeros [1 14 1]. Ao se utilizar o sistema, obtm-se a nova matriz [f (1) f (14) f (1)], gerando a matriz cdigo [5 36 5]. Considere a destinatria de uma mensagem cujo nome corresponde seguinte matriz cdigo: [7 13 5 30 32 21 24]. Identifique esse nome. 7) Para transportar areia, uma loja dispe de um caminho cuja caamba tem 1m de altura e a forma de um paraleleppedo retngulo de base quadrada. A maior distncia entre dois pontos desse paraleleppedo igual a 3m. Determine a capacidade mxima, em metros cbicos, dessa caamba. 8) Considere a equao a seguir, que se reduz a uma equao do terceiro grau:  Uma de suas razes real e as outras so imaginrias. Determine as trs razes dessa equao. 9) Todas as n capitais de um pas esto interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critrio: uma nica estrada liga cada duas capitais. Com a criao de duas novas capitais, foi necessria a construo de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critrio. Determine o nmero n de capitais, que existiam inicialmente nesse pas. 10) A figura abaixo representa a superfcie plana de uma mesa retangular BFGH na qual esto apoiados os seguintes instrumentos para desenho geomtrico, ambos de espessuras desprezveis: - um transferidor com a forma de um semicrculo de centro O e dimetro AB; - um esquadro CDE, com a forma de um tringulo retngulo issceles.  Considere as informaes abaixo: ED est contido em BF; OA est contido em BH; AB = 10 cm; BD = 13 cm. Calcule a medida, em centmetros, do menor segmento que liga a borda do transferidor borda do esquadro.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2012 - GABARITO 1) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispe da quantia X, em reais. O preo do produto A corresponde a 2/3 de X, e o do produto B corresponde frao restante. No momento de efetuar o pagamento, uma promoo reduziu em 10% o preo de A. Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor, em reais, que o cliente deixou de gastar. Soluo. Estabelecendo a equao correspondente situao apresentada, temos:  EMBED Equation.3 . Utilize as informaes a seguir para responder s questes de nmeros 2 e 3. Na tabela abaixo, esto indicados os preos do rodzio de pizzas de um restaurante. DIAS DA SEMANAVALOR UNITRIO DO RODZIO (R$)Segunda-feira, tera-feira, quarta-feira e quinta-feira.18,50Sexta-feira, sbado e domingo.22,00 2) Considere um cliente que foi a esse restaurante todos os dias de uma mesma semana, pagando um rodzio em cada dia. Determine o valor mdio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodzio nessa semana. Soluo. Utilizando a frmula para dados agrupados, vem:  EMBED Equation.3 . 3) Considere agora outro cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para comer pizzas nesse sistema de rodzio, pagando tambm um rodzio em cada dia. Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mnimo possvel. Soluo 1. Para que o gasto seja mnimo ele ter que escolher dois dias dentre os mais baratos:  EMBED Equation.3 . Soluo 2. Utilizando o espao amostral e anlise e combinatria, temos:  EMBED Equation.3 . 4) Distncia de frenagem aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio acionado at o momento em que ele para. Essa distncia diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o carro est desenvolvendo no instante em que o freio acionado. O grfico abaixo indica a distncia de frenagem d, em metros, percorrida por um carro, em funo de sua velocidade v, em quilmetros por hora. Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcanar a velocidade de 100 km/h. Calcule sua distncia de frenagem, em metros. Soluo. De acordo com a informao a expresso da funo ser dada por d(v) = k.v2. Um ponto indicado no grfico (50,32). Substituindo e encontrando o valor pedido, temos:  EMBED Equation.3 . 5) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadriltero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. As varetas esto representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a rea total da pipa. Os segmentos AC e BD so perpendiculares em E, e os ngulos ABC e ADC so retos. Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18cm e 32cm, determine o comprimento total da linha, representada por AB + BC + CD + DA. Soluo. Os tringulos ABC e ADC so congruentes e as medidas 18cm e 32cm representam as projees da altura x sobre a hipotenusa AC. Utilizando as relaes envolvendo tringulos retngulos, temos:  EMBED Equation.3 . 6) Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por nmeros, foi utilizado um sistema no qual cada letra do alfabeto est associada a um nico nmero n, formando a sequncia de 26 nmeros ilustrada na tabela: LetraABCDE...WXYZNmero n12345...23242526 Para utilizar o sistema, cada nmero n, correspondente a uma determinada letra, transformado em um nmero f (n), de acordo com a seguinte funo:  EMBED Equation.3 , na qual n T IN. As letras do nome ANA, por exemplo, esto associadas aos nmeros [1 14 1]. Ao se utilizar o sistema, obtm-se a nova matriz [f (1) f (14) f (1)], gerando a matriz cdigo [5 36 5]. Considere a destinatria de uma mensagem cujo nome corresponde seguinte matriz cdigo: [7 13 5 30 32 21 24]. Identifique esse nome. Soluo. Calculando os valores de n possveis numa tabela, descartamos as incompatveis. 7135303221242n+3n = 2; Bn = 5; En = 1; An = 13,5n = 14,5n = 9; In = 10,550-nn = 43n = 37n = 45n = 20; Tn = 18; Rn = 29n = 26; Z O nome BEATRIZ. 7) Para transportar areia, uma loja dispe de um caminho cuja caamba tem 1m de altura e a forma de um paraleleppedo retngulo de base quadrada. A maior distncia entre dois pontos desse paraleleppedo igual a 3m. Determine a capacidade mxima, em metros cbicos, dessa caamba. Soluo. A distncia mxima entre dois pontos do paraleleppedo a diagonal. Utilizando a frmula, temos:  EMBED Equation.3 . 8) Considere a equao a seguir, que se reduz a uma equao do terceiro grau:  Uma de suas razes real e as outras so imaginrias. Determine as trs razes dessa equao. Soluo. Desenvolvendo a expresso temos:  EMBED Equation.3 . Na pesquisa de razes, as possveis racionais so os divisores de 2: { 1, 2}. Testando, vem: - x = 1 no raiz, pois a soma dos coeficientes no nula; - x = -1 => (-1)3 + 3(-1)2 + 4(-1) + 2 = -1 + 3 4 + 2 = 0. Logo, x = - 1 raiz. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: -11 3 4 21 2 2 0 Resolvendo a equao: x2 + 2x + 2 = 0, temos:  EMBED Equation.3 . As razes so: {-1; -1 i; -1 + i} 9) Todas as n capitais de um pas esto interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critrio: uma nica estrada liga cada duas capitais. Com a criao de duas novas capitais, foi necessria a construo de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critrio. Determine o nmero n de capitais, que existiam inicialmente nesse pas. Soluo. O nmero inicial de estradas a combinao de n capitais duas a duas: C(n,2). Com a criao de duas capitais passamos a (n + 2) capitais. Esse acrscimo originou mais 21 estradas. O total de estradas C(n+2,2). Logo, C(n+2,2) C(n,2) = 21. Desenvolvendo, temos:  EMBED Equation.3 . 10) A figura abaixo representa a superfcie plana de uma mesa retangular BFGH na qual esto apoiados os seguintes instrumentos para desenho geomtrico, ambos de espessuras desprezveis: - um transferidor com a forma de um semicrculo de centro O e dimetro AB; - um esquadro CDE, com a forma de um tringulo retngulo issceles. Considere as informaes abaixo: ED est contido em BF; OA est contido em BH; AB = 10 cm; BD = 13 cm. Calcule a medida, em centmetros, do menor segmento que liga a borda do transferidor borda do esquadro. Soluo 1. O tringulo ECD retngulo issceles. Logo o ngulo E de 45. A distncia OP mnima. Logo OP perpendicular a CE. O tringulo retngulo OBP retngulo issceles. Logo o ngulo P de 45 e OP hipotenusa do tringulo valendo  EMBED Equation.3 . A distncia pedida d ser calculada com auxlio do clculo do cateto x do tringulo retngulo issceles determinado pela interseco do tringulos OBP e ECD.  EMBED Equation.3 . Soluo 2. Representando os pontos no eixo cartesiano, temos: A distncia pedida d est representada na figura. i) A reta r passa pelos pontos (13,10) e (3,0). Sua equao :  EMBED Equation.3 . ii) A distncia do ponto O(0,5) reta r vale:  EMBED Equation.3 . A distncia d a diferena entre a distncia do ponto O reta e o raio da circunferncia 5. Logo,  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2013 1. (UERJ) Um imvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imvel em t anos pode ser obtido por meio da frmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.  EMBED Equation.3  Admitindo que o valor de venda atual do imvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a trs anos. 2. (UERJ) A ilustrao abaixo mostra seis cartes numerados organizados em trs linhas. Em cada linha, os nmeros esto dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada carto, est registrado um nmero exatamente igual diferena positiva dos nmeros registrados nos dois cartes que esto imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartes 1 e Z esto imediatamente abaixo do carto X. Determine os valores de X, Y e Z. 3. (UERJ) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapzio, tm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos esto voltados para a Rua Beta. Observe o esquema:  As reas de A e B so, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 4. (UERJ) Na figura, est representada uma torre de quatro andares construda com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos. Calcule o nmero de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construda com cubos iguais e procedimento idntico. 5. (UERJ) Considere uma folha de papel retangular que foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada uma com metade da rea inicial da folha, conforme as ilustraes.  Esse procedimento de dobradura pode ser repetido n vezes, at resultar em partes com reas inferiores a 0,0001% da rea inicial da folha. Calcule o menor valor de n. Se necessrio, utilize em seus clculos os dados da tabela. 6. (UERJ) Um sistema luminoso, constitudo de oito mdulos idnticos, foi montado para emitir mensagens em cdigo. Cada mdulo possui trs lmpadas de cores diferentes " vermelha, amarela e verde. Observe a figura.  Considere as seguintes informaes: " cada mdulo pode acender apenas uma lmpada por vez; " qualquer mensagem configurada pelo acendimento simultneo de trs lmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois mdulos com as trs lmpadas apagadas; duas mensagens so diferentes quando pelo menos uma das posies dessas cores acesas diferente. Calcule o nmero de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 7. (UERJ) O grfico abaixo representa a funo polinomial P do 3 grau que intersecta o eixo das abscissas no ponto ( 1,0). Determine o resto da diviso de P(x) por x2 1. 8. (UERJ) Um professor prope a um aluno uma tarefa de matemtica composta das etapas descritas a seguir. 1 Escrever o nmero de quatro algarismos da data de seu aniversrio, dois referentes ao dia e dois referentes ao ms. 2 Misturar os quatro algarismos desse nmero formando um nmero N, de modo que a ordem das unidades de milhar no seja ocupada por zero. 3 Subtrair 1001 do nmero N, tantas vezes quantas forem necessrias, at obter o primeiro valor menor do que 1001. 4 Informar ao professor o valor obtido na 3 etapa. 5 Calcular o resto R da diviso do nmero N, obtido na 2 etapa, por 11. O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N. Sabendo que o valor obtido na 3 etapa foi 204, determine R. 9. (UERJ) Um objeto de dimenses desprezveis, preso por um fio inextensvel, gira no sentido anti-horrio em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetria T, cuja equao x2 + y2 = 25. Observe a figura:  Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P (4,3). A partir desse instante, o objeto segue na direo da reta tangente a T no ponto P. Determine a equao dessa reta. 10. (UERJ) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, aps ser cortado e polido, deu origem a um slido de 12 faces triangulares congruentes. Os vrtices desse poliedro so os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. Calcule a razo entre os volumes do slido e do prisma.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2013 GABARITO 1. (UERJ) Um imvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imvel em t anos pode ser obtido por meio da frmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.  EMBED Equation.3  Admitindo que o valor de venda atual do imvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a trs anos. Soluo. Substituindo o valor inicial e utilizando as propriedades das potncias, temos:  EMBED Equation.3 . 2. (UERJ) A ilustrao abaixo mostra seis cartes numerados organizados em trs linhas. Em cada linha, os nmeros esto dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada carto, est registrado um nmero exatamente igual diferena positiva dos nmeros registrados nos dois cartes que esto imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartes 1 e Z esto imediatamente abaixo do carto X. Determine os valores de X, Y e Z. Soluo. De acordo com as informaes, temos:  EMBED Equation.3 . Resposta: x = 5; y = 9 e z = 6. 3. (UERJ) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapzio, tm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos esto voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: As reas de A e B so, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. Soluo. O segmento y base mdia do trapzio de bases 20 e x, pois as frentes (lados no paralelos) possuem a mesma medida. Identificando as medidas na figura e utilizando a frmula do trapzio, temos:  EMBED Equation.3 . 4. (UERJ) Na figura, est representada uma torre de quatro andares construda com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos. Calcule o nmero de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construda com cubos iguais e procedimento idntico. Soluo. Observe que o nmero de cubos em cada andar, partindo do mais alto, o resultado da soma do total de cubos do andar anterior com o nmero indicador do andar atual. Logo, com 5 andares a base teria (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 15 cubos. Essa soma representa a soma de uma Progresso Aritmtica de razo 1. Calculando o nmero de cubos da base para 100 andares, temos:  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) Considere uma folha de papel retangular que foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada uma com metade da rea inicial da folha, conforme as ilustraes.  Esse procedimento de dobradura pode ser repetido n vezes, at resultar em partes com reas inferiores a 0,0001% da rea inicial da folha. Calcule o menor valor de n. Se necessrio, utilize em seus clculos os dados da tabela. Soluo. As dobras ao meio indicam potncias de base (1/2). Considerando A como rea inicial, temos:  EMBED Equation.3 . Comparando as possveis somas das potncias de 10 na tabela mais prximas de 106, temos: i) 2,70 + 3,01 = 5,71 < 6; ii) 2,70 + 3,32 =6,02; iii) 2,70 + 3,63 = 6,33; iv) 3,01 + 3,32 = 6,33; v) 3,01 + 3,63 = 6,64; vi) 3,32 + 3,63 = 6,95. O valor mais prximo o (ii). Temos: 106 < 102,70 + 3,32 = 106,02 = 29+11 = 220. Como 2n > 220 > 106 ento n = 20 o menor valor. 6. (UERJ) Um sistema luminoso, constitudo de oito mdulos idnticos, foi montado para emitir mensagens em cdigo. Cada mdulo possui trs lmpadas de cores diferentes " vermelha, amarela e verde. Observe a figura.  Considere as seguintes informaes: " cada mdulo pode acender apenas uma lmpada por vez; " qualquer mensagem configurada pelo acendimento simultneo de trs lmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois mdulos com as trs lmpadas apagadas; duas mensagens so diferentes quando pelo menos uma das posies dessas cores acesas diferente. Calcule o nmero de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. Soluo 1. H  EMBED Equation.3  maneiras de 6 mdulos ficarem acesos. Em cada uma haver a permutao das cores: (VERM) (VERM) (VERM) (VERDE) (VERDE) (AMARELA), num total de  EMBED Equation.3 . Logo so (60).(28) = 1680 mensagens distintas. Soluo 2. Como haver 2 mdulos vazios, temos uma permutao com repetio da configurao: (VERM) (VERM) (VERM) (VERDE) (VERDE) (AMARELA) (VAZIO) (VAZIO):  EMBED Equation.3 . 7. (UERJ) O grfico abaixo representa a funo polinomial P do 3 grau que intersecta o eixo das abscissas no ponto ( 1,0). Determine o resto da diviso de P(x) por x2 1. Soluo. O divisor x2 1 (grau 2). O resto ser, no mximo, de grau 1. Isto , R(x) = ax + b. Pelo grfico temos que P( 1) = 0 e P(1) = 2.  EMBED Equation.3 . O resto R(x) = x + 1. 8. (UERJ) Um professor prope a um aluno uma tarefa de matemtica composta das etapas descritas a seguir. 1 Escrever o nmero de quatro algarismos da data de seu aniversrio, dois referentes ao dia e dois referentes ao ms. 2 Misturar os quatro algarismos desse nmero formando um nmero N, de modo que a ordem das unidades de milhar no seja ocupada por zero. 3 Subtrair 1001 do nmero N, tantas vezes quantas forem necessrias, at obter o primeiro valor menor do que 1001. 4 Informar ao professor o valor obtido na 3 etapa. 5 Calcular o resto R da diviso do nmero N, obtido na 2 etapa, por 11. O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de N. Sabendo que o valor obtido na 3 etapa foi 204, determine R. Soluo. A operao na etapa 3, indica a diviso de N por 1001, obtendo resto r (valor informado ao professor) e quociente q. Essa operao pode ser representada por N = 1001.q + r. A etapa 5 consiste na diviso de N por 11, com quociente q e resto R. Operao representada por N = 11.q + R. De acordo com a informao, r = 204. Observando que 1001 = (13).(7).(11), isto , 1001 mltiplo de 11, e que 204 = 11 x 18 + 6, temos:  EMBED Equation.3 . 9. (UERJ) Um objeto de dimenses desprezveis, preso por um fio inextensvel, gira no sentido anti-horrio em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetria T, cuja equao x2 + y2 = 25. Observe a figura:  Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P (4,3). A partir desse instante, o objeto segue na direo da reta tangente a T no ponto P. Determine a equao dessa reta. Soluo. A circunferncia est centrada na origem. A reta s que passa por O e P possui equao:  EMBED Equation.3 . A reta pedida r perpendicular a s e tambm passa por (4,3).  EMBED Equation.3 . 10. (UERJ) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, aps ser cortado e polido, deu origem a um slido de 12 faces triangulares congruentes. Os vrtices desse poliedro so os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. Calcule a razo entre os volumes do slido e do prisma. Soluo. Identificando os elementos na figura, temos:  i) L: aresta da base do prisma. ii) H: altura do prisma. iii) L: aresta do slido. iv) H/2: altura da pirmide superior do slido (mesma da pirmide inferior). A aresta L do slido pode ser calculada pela lei dos cossenos no tringulo assinalado.  EMBED Equation.3 . O volume do slido ser o dobro do volume da pirmide hexagonal regular de aresta da base L e altura H/2.  EMBED Equation.3 . O volume do prisma :  EMBED Equation.3 . A razo pedida :  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo - 2014 1. (UERJ) Campanha do governo de Dubai contra a obesidade oferece prmio em ouro por quilogramas perdidos. A campanha funciona premiando os participantes de acordo com a seguinte tabela: Assim, se uma pessoa perder 4kg, receber 4g de ouro; se perder 7kg receber 14g; se perder 15kg receber 45g. (Adaptado de g1.globo.com, 18/08/2013). Considere um participante da campanha que receba 16g de ouro pelo nmero inteiro de quilogramas perdidos. Sabendo que a massa dessa pessoa, ao receber o prmio, de 93,0kg, determine o valor inteiro de sua massa, em quilogramas, no incio da campanha.  Utilize as informaes a seguir para responder s questes de nmeros 02 e 03. Aps serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma:  2. (UERJ) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta vertical de equao x = x0 divide ao meio a rea do polgono formado pelas barras retangulares, o valor de x0 corresponde mediana da distribuio dos dados representados. Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no histograma. 3. (UERJ) Os dados do histograma tambm podem ser representados em um grfico de setores. Observe:  Calcule o maior ngulo central, em graus, desse grfico de setores. 4. (UERJ) Observe o anncio, que apresenta descontos promocionais de uma loja. Admita que essa promoo obedea seguinte sequncia: primeiro desconto de 10% sobre o preo da mercadoria; segundo desconto de 10% sobre o valor aps o primeiro desconto; desconto de R$100,00 sobre o valor aps o segundo desconto. Determine o preo inicial de uma mercadoria cujo valor, aps os trs descontos, igual a R$710,00. 5. (UERJ) Considere a sequncia de matrizes (A1, A2, A3, ...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente iguais a:  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,... Sabendo que o elemento aij = 75432 da matriz An, determine os valores de n, i e j. 6. (UERJ) O reservatrio A perde gua a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatrio B ganha gua a uma taxa constante de 12 litros por hora. No grfico, esto representados, no eixo y, os volumes, em litros, da gua contida em cada um dos reservatrios, em funo do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no grfico. 7. (UERJ) Observe o grfico da funo polinomial de R em R definida por P(x) = 2x3 - 6x2 + 3x + 2.  Determine o conjunto soluo da inequao P(x) > 0. 8. (UERJ) Um alvo de dardos formado por trs crculos concntricos que definem as regies I, II e III, conforme mostra a ilustrao. Um atirador de dardos sempre acerta alguma regio do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regies I, II e III denominadas, respectivamente, PI, PII e PIII. Para esse atirador, valem as seguintes relaes: PII = 3PI PIII = 2PII Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a regio I exatamente duas vezes ao fazer dois lanamentos. 9. (UERJ) Um disco metlico de centro O e dimetro AB = 4dm, utilizado na fabricao de determinada pea, representado pelo seguinte esquema:  Calcule a distncia entre os pontos J e K. 10. (UERJ) No grfico, esto indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que so fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C at A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A at B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P igual ordenada de Q. Determine a medida da maior rea que o tringulo PAQ pode assumir.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU  Exame Discursivo 2014 - GABARITO 1. (UERJ) Campanha do governo de Dubai contra a obesidade oferece prmio em ouro por quilogramas perdidos. A campanha funciona premiando os participantes de acordo com a seguinte tabela: Assim, se uma pessoa perder 4kg, receber 4g de ouro; se perder 7kg receber 14g; se perder 15kg receber 45g. (Adaptado de g1.globo.com, 18/08/2013). Considere um participante da campanha que receba 16g de ouro pelo nmero inteiro de quilogramas perdidos. Sabendo que a massa dessa pessoa, ao receber o prmio, de 93,0kg, determine o valor inteiro de sua massa, em quilogramas, no incio da campanha. Soluo. Como 16 o dobro de 8 (nica possibilidade), temos que o participante perdeu 8kg. Logo sua massa no incio era de (93,0kg + 8kg) = 101kg.  Utilize as informaes a seguir para responder s questes de nmeros 02 e 03. Aps serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma:  2. (UERJ) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta vertical de equao x = x0 divide ao meio a rea do polgono formado pelas barras retangulares, o valor de x0 corresponde mediana da distribuio dos dados representados. Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no histograma. Soluo. H (2 + 3 + 6 + 9) = 20 dados, logo a mediana estar entre o 10 e 11 dado. Este valor se encontra na segunda classe. Considerando x a base do retngulo de altura 9 e sabendo que essa rea vale a metade da rea total, temos:  EMBED Equation.3 . 3. (UERJ) Os dados do histograma tambm podem ser representados em um grfico de setores. Observe: Calcule o maior ngulo central, em graus, desse grfico de setores. Soluo. O maior ngulo central corresponde ao setor B. Este setor representa a frequncia de 9 alunos de um total de 20. Logo, associando 20 ao total de 360, temos:  EMBED Equation.3 . 4. (UERJ) Observe o anncio, que apresenta descontos promocionais de uma loja. Admita que essa promoo obedea seguinte sequncia: primeiro desconto de 10% sobre o preo da mercadoria; segundo desconto de 10% sobre o valor aps o primeiro desconto; desconto de R$100,00 sobre o valor aps o segundo desconto. Determine o preo inicial de uma mercadoria cujo valor, aps os trs descontos, igual a R$710,00. Soluo. Utilizando o conceito de descontos sucessivos, temos:  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) Considere a sequncia de matrizes (A1, A2, A3, ...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente iguais a:  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,... Sabendo que o elemento aij = 75432 da matriz An, determine os valores de n, i e j. Soluo. Observe que cada elemento da 1 matriz corresponde aos restos possveis na diviso por 16. Cada um desses elementos so os primeiros elementos de uma progresso aritmtica de razo 16. Exemplo: O elemento a33 = 10 o resto da diviso de 10, 26, 42, etc por 16. Todos ocupando a mesma posio em suas respectivas matrizes. Logo, basta encontrarmos o resto de 75432 na diviso por 16. i) 75432 16 = 4714, resto 8. Logo, o elemento 75432 o elemento a31. Isto i = 3 e j = 1. ii) Temos que: 75432 = 8 + (n 1).16 =>75432 8 = (n 1).16 => 75424 16 = n 1 => => n 1 = 4714 => n = 4714 + 1 => n = 4715. 6. (UERJ) O reservatrio A perde gua a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatrio B ganha gua a uma taxa constante de 12 litros por hora. No grfico, esto representados, no eixo y, os volumes, em litros, da gua contida em cada um dos reservatrios, em funo do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no grfico. Soluo. A perda constante no reservatrio A indica uma funo afim dada pela lei f(x) = ax + b, com a = 10. O ganho constante do reservatrio B indica uma funo afim com a = 12. Escrevendo as equaes das retas A e B, temos:  EMBED Equation.3 . O tempo x0 corresponde interseo das retas:  EMBED Equation.3 . R: x0 = 30. 7. (UERJ) Observe o grfico da funo polinomial de R em R definida por P(x) = 2x3 - 6x2 + 3x + 2. Determine o conjunto soluo da inequao P(x) > 0. Soluo. O grfico intersecta o eixo X no ponto x = 2. Logo, o polinmio divisvel por (x 2). Aplicando o dispositivo prtico de Briot-Ruffini, temos:  O quociente Q(x) = 2x2 2x 1. Encontrando as razes desse polinmio, temos:  EMBED Equation.3 . Soluo:  EMBED Equation.3 . 8. (UERJ) Um alvo de dardos formado por trs crculos concntricos que definem as regies I, II e III, conforme mostra a ilustrao. Um atirador de dardos sempre acerta alguma regio do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regies I, II e III denominadas, respectivamente, PI, PII e PIII. Para esse atirador, valem as seguintes relaes: PII = 3PI; PIII = 2PII Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a regio I exatamente duas vezes ao fazer dois lanamentos. Soluo. Considere x a probabilidade de o atirador acertar a regio I. Temos:  EMBED Equation.3 . 9. (UERJ) Um disco metlico de centro O e dimetro AB = 4dm, utilizado na fabricao de determinada pea, representado pelo seguinte esquema:  Calcule a distncia entre os pontos J e K. Soluo. O raio da circunferncia centrada da origem vale 2dm. Os pontos J e K so as intersees das retas r e s com a circunferncia. A distncia pedida ser entre as abscissas de K (Kx) e de J (Jx).  EMBED Equation.3 . A distncia :  EMBED Equation.3 . 10. (UERJ) No grfico, esto indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que so fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C at A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A at B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P igual ordenada de Q. Determine a medida da maior rea que o tringulo PAQ pode assumir. Soluo. As coordenadas de P so (x, y) e de Q, (x, x). As equaes das retas que passam por AC e AB so:  EMBED Equation.3 . Encontrando as coordenadas de P e Q que pertencem s retas AC e AB, respectivamente, temos:  EMBED Equation.3 . Maximizando a rea, vem:  EMBED Equation.3 .  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2015 1. (UERJ) O carto pr-pago de um usurio do metr tem R$8,90 de crdito. Para uma viagem, foi debitado desse carto o valor de R$3,25, correspondente a uma passagem. Em seguida, o usurio creditou mais R$20,00 nesse mesmo carto. Admitindo que o preo da passagem continue o mesmo, e que no ser realizado mais crdito algum, determine o nmero mximo de passagens que ainda podem ser debitadas desse carto. 2. (UERJ) Leia a tirinha.  Suponha que existam exatamente 700 milhes de analfabetos no mundo e que esse nmero seja reduzido, a uma taxa constante, em 10% ao ano, totalizando n milhes daqui a trs anos. Calcule o valor de n. 3. (UERJ) Uma ferramenta utilizada na construo de uma rampa composta pela seguinte estrutura: duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o ngulo DE igual a 45; uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca em seu ponto mdio M; um fio fixado no vrtice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade; nesse conjunto, os segmentos AB e AC so congruentes.  Observe o esquema que representa essa estrutura: Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posio horizontal. Com isso, obtm-se, na reta que liga os pontos D e E, a inclinao a desejada. Calcule (, supondo que o ngulo AD mede 85. 4. (UERJ) Um cubo de aresta EF medindo 8dm contm gua e est apoiado sobre um plano ( de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo representa o cubo com a gua. Considere que a superfcie livre do lquido no interior do cubo seja um retngulo ABCD com rea igual a  EMBED Equation.3 . Determine o volume total, em dm3, de gua contida nesse cubo. 5. (UERJ) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grmio e O Estudante. Em relao leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que: 10% no leem esses jornais; 520 leem o jornal O Estudante; 440 leem o jornal Correio do Grmio. Calcule o nmero total de alunos do colgio que leem os dois jornais. 6. (UERJ) Ao digitar corretamente a expresso  EMBED Equation.3 em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo no um nmero real. Determine todos os valores reais de x para que o valor da expresso  EMBED Equation.3  seja um nmero real. 7. (UERJ) Um tubo cilndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma so mostradas em trs etapas desse movimento, I, II e III, nas figuras a seguir.  Admita que: as medidas do dimetro do crculo de centro F e da altura do tringulo ABC so respectivamente iguais a  EMBED Equation.3 decmetros; durante todo o percurso, o crculo e o tringulo sempre se tangenciam. Determine o comprimento total, em decmetros, do caminho descrito pelo centro F do crculo que representa a base do cilindro. 8. (UERJ) Considere a funo real f, de varivel real x, definida pelo seguinte determinante:  EMBED Equation.3  para  EMBED Equation.3 . Observe o grfico da funo f. Determine os valores de x para os quais f(x) = 1. 9. (UERJ) Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilneo cujos pontos so equidistantes dos centros A e B de dois municpios. Em seu projeto de construo, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilmetros, em que A = (1,2) e B = (7,14). Observe o grfico: Determine, utilizando esse sistema referencial, a equao da reta suporte desse trecho retilneo da ferrovia. 10. (UERJ) Cada uma das 28 peas do jogo de domin convencional, ilustradas abaixo, contm dois nmeros, de zero a seis, indicados por pequenos crculos ou, no caso do zero, por sua ausncia.  Admita um novo tipo de domin, semelhante ao convencional, no qual os dois nmeros de cada pea variem de zero a dez. Observe o desenho de uma dessas peas:  Considere que uma pea seja retirada ao acaso do novo domin. Calcule a probabilidade de essa pea apresentar um nmero seis ou um nmero nove.  COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA Exame Discursivo PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU Exame Discursivo 2015 GABARITO 1. (UERJ) O carto pr-pago de um usurio do metr tem R$8,90 de crdito. Para uma viagem, foi debitado desse carto o valor de R$3,25, correspondente a uma passagem. Em seguida, o usurio creditou mais R$20,00 nesse mesmo carto. Admitindo que o preo da passagem continue o mesmo, e que no ser realizado mais crdito algum, determine o nmero mximo de passagens que ainda podem ser debitadas desse carto. Soluo. Com o dbito inicial de R$3,25 restaram (R$8,90 R$3,25) = R$5,65. Com o crdito efetuado pelo usurio, o carto passou a ter (R$5,65 + R$20,00) = R$25,65. O preo da passagem de R$3,25. Logo, so possveis (R$25,65 3,25) H" 7,89 ! 7 viagens a serem debitadas. 2. (UERJ) Leia a tirinha.  Suponha que existam exatamente 700 milhes de analfabetos no mundo e que esse nmero seja reduzido, a uma taxa constante, em 10% ao ano, totalizando n milhes daqui a trs anos. Calcule oA^`ʺn]L;n hU+5>*CJOJQJ^JaJ hu5>*CJOJQJ^JaJ h5>*CJOJQJ^JaJ h%15>*CJOJQJ^JaJh}h}5CJ aJ hd>`hf(jhd>`hd>`U^JmHnHtHuhd>`hf^Jhs_khL}H5^J hL}H^Jhd>`hL}H5^J hL}H5^JhL}HhL}H5CJ ^JaJ hd>`hf5^J+jhd>`hd>`5U^JmHnHtHu/` $$Ifa$gd, $IfgdL}H $$Ifa$gdL}H$x$Ifa$gd, d\\PD<$a$gdX! $7$8$H$a$gd@ $7$8$H$a$gd`l$a$gd`lkd$$IfTl4F)#FFCh t06    44 lBa`f4yts_kT      ʹtcK7&h@CJOJPJQJ^JaJnHtH/jLh}mCJOJPJQJU^JaJnHtH hfnh4P}CJOJQJ^JaJ hv_h4P}CJOJQJ^JaJh4P}CJOJQJ^JaJh@CJOJQJ^JaJ.h@h@5>*CJOJQJ^JaJnHtH h{aoh}CJ OJQJ^JaJ &h}hf5>*CJOJQJ^JaJ hu5>*CJOJQJ^JaJ h@5>*CJOJQJ^JaJ    | } ^ _  K L M N  $7$8$H$a$gdX! $7$8$H$a$gdwu$a$gdm$a$gd@$a$gdX!    ) * + , 2 3 6 7 | z_Bz++,hm5>*CJOJPJQJ^JaJnHtH9j5hmhmCJEHOJPJQJU^JaJnHtH5j)X hmCJOJPJQJUV^JaJnHtH/jhmCJOJPJQJU^JaJnHtH/jshcCJOJPJQJU^JaJnHtH,hmhmCJOJPJQJ^JaJnHtH&h@CJOJPJQJ^JaJnHtH&hmCJOJPJQJ^JaJnHtH,hmhmCJOJPJQJ^JaJnHtH| }   # լՔy\D/jhmCJOJPJQJU^JaJnHtH9jh}mh}mCJEHOJPJQJU^JaJnHtH5j)X 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OJQJ^JaJ nHtH valor de n. Soluo. A taxa de reduo constante de 10% ao ano ocorrendo por trs anos corresponde expresso:  EMBED Equation.3 . O total de analfabetos ser de 510 300 000. 3. (UERJ) Uma ferramenta utilizada na construo de uma rampa composta pela seguinte estrutura: duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o ngulo DE igual a 45; uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca em seu ponto mdio M; um fio fixado no vrtice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade; nesse conjunto, os segmentos AB e AC so congruentes.  Observe o esquema que representa essa estrutura: Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posio horizontal. Com isso, obtm-se, na reta que liga os pontos D e E, a inclinao a desejada. Calcule (, supondo que o ngulo AD mede 85. Soluo. O ngulo A mede 45, os ngulos ADF e AFD so congruentes, pois o tringulo ADF issceles. Por outro lado, como AED mede 85, o ngulo ADE mede 180 (85 + 45) = 50. Temos:  EMBED Equation.3 . 4. (UERJ) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contm gua e est apoiado sobre um plano ( de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo representa o cubo com a gua. Considere que a superfcie livre do lquido no interior do cubo seja um retngulo ABCD com rea igual a  EMBED Equation.3 . Determine o volume total, em dm3, de gua contida nesse cubo. Soluo. O retngulo ABCD possui dimenses AB = 8dm e AD = y. Utilizando o valor da rea, temos:  EMBED Equation.3 . O volume da gua corresponde ao volume do prisma triangular cuja base o tringulo retngulo AED e a altura AB = 8 dm. Calculando o valor do cateto x e o volume temos:  EMBED Equation.3 . 5. (UERJ) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grmio e O Estudante. Em relao leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que: 10% no leem esses jornais; 520 leem o jornal O Estudante; 440 leem o jornal Correio do Grmio. Calcule o nmero total de alunos do colgio que leem os dois jornais. Soluo. No leem os jornais 10% de 840 = 84 alunos. Representando as informaes em diagramas, temos:  EMBED Equation.3  6. (UERJ) Ao digitar corretamente a expresso  EMBED Equation.3 em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo no um nmero real. Determine todos os valores reais de x para que o valor da expresso  EMBED Equation.3  seja um nmero real. Soluo. Para que a expresso seja um nmero real, basta que  EMBED Equation.3 . Analisando os casos, temos:  EMBED Equation.3 . O valor de x deve estar no intervalo ]0, 0.1[. OBS: O sinal de desigualdade fica mantido se a base for maior que 1 e fica invertido se a base for maior que zero e menor que 1. 7. (UERJ) Um tubo cilndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma so mostradas em trs etapas desse movimento, I, II e III, nas figuras a seguir.  Admita que: as medidas do dimetro do crculo de centro F e da altura do tringulo ABC so respectivamente iguais a  EMBED Equation.3 decmetros; durante todo o percurso, o crculo e o tringulo sempre se tangenciam. Determine o comprimento total, em decmetros, do caminho descrito pelo centro F do crculo que representa a base do cilindro. Soluo. A figura ilustra o percurso do incio ao fim.  a) Como a altura do tringulo vale  EMBED Equation.3 , temos:  EMBED Equation.3 . b) O percurso S um arco de circunferncia de angulo central igual a 120. Calculando em radianos, temos:  EMBED Equation.3 . c) O total percorrido ser:  EMBED Equation.3 . 8. (UERJ) Considere a funo real f, de varivel real x, definida pelo seguinte determinante:  EMBED Equation.3  para  EMBED Equation.3 . Observe o grfico da funo f. Determine os valores de x para os quais f(x) = 1. Soluo. Calculando o determinante, temos:  EMBED Equation.3 . 9. (UERJ) Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilneo cujos pontos so equidistantes dos centros A e B de dois municpios. Em seu projeto de construo, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilmetros, em que A = (1,2) e B = (7,14). Observe o grfico. Determine, utilizando esse sistema referencial, a equao da reta suporte desse trecho retilneo da ferrovia. Soluo. A reta suporte ser a mediatriz dos pontos A e B. Ela passa pelo ponto mdio de AB e perpendicular reta que liga A e B.  EMBED Equation.3 . 10. (UERJ) Cada uma das 28 peas do jogo de domin convencional, ilustradas abaixo, contm dois nmeros, de zero a seis, indicados por pequenos crculos ou, no caso do zero, por sua ausncia.  Admita um novo tipo de domin, semelhante ao convencional, no qual os dois nmeros de cada pea variem de zero a dez. Observe o desenho de uma dessas peas:  Considere que uma pea seja retirada ao acaso do novo domin. Calcule a probabilidade de essa pea apresentar um nmero seis ou um nmero nove. Soluo 1. Observe que com o valor mximo sendo 6, h 7 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 peas. Logo, se houver valor mximo 10, teremos (11 + 10 + 9 + 8) + 28 = 38 + 28 = 66 peas. Comparando ainda com o exemplo, temos que cada valor aparece 7 vezes, sendo uma pea interseo de dois valores. No caso de 66 peas, h onze peas com nmero 6, onze peas com nmero 9 e uma pea contendo 6 e 9. Logo h 11 + 11 1 = 21 peas com 6 ou 9. A probabilidade ser:  EMBED Equation.3 . Soluo 2. H 11 nmeros para serem distribudos em 2 espaos: C(11,2). Alm disso h 11 peas em que os dois espaos possuem os mesmo nmeros. Utilizando clculos combinatrios, temos:  EMBED Equation.3 .      PAGE \* MERGEFORMAT 42  PAGE \* MERGEFORMAT 48  PAGE \* MERGEFORMAT 67  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3               ǯppYG2)hwuhvB*CJOJQJ^JaJph#hvB*CJOJQJ^JaJph,hrhv5B*CJOJQJ^JaJph&hi5B*CJOJQJ^JaJph,hP<*hv5B*CJ OJQJ^JaJ ph&hv5B*CJOJQJ^JaJph/jhv5B*CJOJQJU^JaJph9j7 hP<*hi5B*CJEHOJQJU^JaJph5j%X hv5B*CJOJQJUV^JaJph  """""")#*#Y#[#m#n####̷ڦڃlQڦ:,h0shv5B*CJOJQJ^JaJph5 jahX!hv5CJOJPJ QJ^JaJnHtH,hX!hvCJOJPJ QJ^JaJnHtH"hvCJOJQJ^JaJnHtH hX!hvCJ OJQJ^JaJ hX!hvCJOJQJ^JaJ(h>hvCJ OJQJ^JaJ nHtHjhiUmHnHu(hX!hvCJOJQJ^JaJnHtH hwuhvCJOJQJ^JaJ#####P$Q$R$S$f$g$h$i$k$u$$$$ǶfXC1C"h}CJOJQJ^JaJnHtH(hX!hvCJOJQJ^JaJnHtHhvCJOJQJ^JaJ9j: hrkh5B*CJEHOJQJU^JaJph5ji]a h5B*CJOJQJUV^JaJph/jhv5B*CJOJQJU^JaJph hmIhvCJOJQJ^JaJ hX!hvCJOJQJ^JaJ&hi5B*CJOJQJ^JaJph&hv5B*CJOJQJ^JaJph$$$%%&%,%-%%%%%%%%%%%%%%͸{bG{4%hvCJH*OJQJ^JaJnHtH5j> hX!hvCJEHOJQJU^JaJnHtH1j%X hvCJOJQJUV^JaJnHtH+jhvCJOJQJU^JaJnHtH(hX!hvCJOJQJ^JaJnHtH"hvCJOJQJ^JaJnHtH(hX!hvCJOJQJ^JaJnHtH,hX!hvCJOJPJ QJ^JaJnHtH5 jahX!hv5CJOJPJ 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