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8K Š Š Š $ $ $ $ $ $ ’’’’ D e c e n t r a l i z e d Hš " C o n t r o l l e r D e s i g n f o r L a r g e - s c a l e C i v i l S t r u c t u r e s
Y a n g W a n g a * , J e r o m e P . L y n c h b , K i n c h o H . L a w c ,
a S c h o o l o f C i v i l a n d E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g , G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y
A t l a n t a , G A 3 0 3 3 2
b D e p a r t m e n t o f C i v i l a n d E n v i r o n m e ntal Engineering, University of Michigan
Ann Arbor, MI 48109
c Department of Civil and Environmental Engineering, Stanford University
Stanford, CA 94305
* Yang Wang, Assistant Professor
School of Civil and Environmental Engineering
Georgia Institute of Technology
790 Atlantic Dr NW
Atlanta, GA 30332-0355
Phone: (001) 404-894-1851 Fax: (001) 404-894-2278
Email: HYPERLINK "mailto:yang.wang@ce.gatech.edu" yang.wang@ce.gatech.edu
ABSTRACT
Complexities inherent to large-scale modern civil structures pose as great challenges in the design of feedback structural control systems for dynamic response mitigation. For example, system designers now face the difficulty of constructing complicated structural control systems which may contain hundreds, or even thousands, of sensors and control devices in a single system. Key issues in such large-scale structural control systems include reduced system reliability, increasing requirements on communication, and longer latencies in the feedback loop. To effectively ad d r e s s t h e s e i s s u e s , d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l s t r a t e g i e s p r o v i d e p r o m i s i n g s o l u t i o n s t h a t a l l o w c o n t r o l s y s t e m s t o o p e r a t e a t h i g h n o d a l c o u n t s . T h i s p a p e r e x a m i n e s t h e f e a s i b i l i t y o f d e s i g n i n g a d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l l e r t h a t m i n i m i z e s t h e Hš " n o r m o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m . Hš " c o n t r o l i s a n a t u r a l c h o i c e f o r d e c e n t r a l i z a t i o n b e c a u s e i m p o s i t i o n o f d e c e n t r a l i z e d a r c h i t e c t u r e s i s e a s y t o a c h i e v e w h e n p o s i n g t h e c o n t r o l l e r d e s i g n u s i n g l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s . D e c e n t r a l i z e d c o n t r o l s o l u t i o n s a r e p r o p o s e d h e r e i n f o r b o t h c o n t i n u o u s - t i m e a n d d i s c r e t e - t i m e Hš " f o r m u l a t i o n s . D e t a i l e d p r o c e d u r e s f o r t h e d e s i g n o f t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l l e r a r e f i r s t i l l u s t r a t e d t h r o u g h a 3 - s t o r y s t r u c t u r e . P e r f o r m a n c e o f t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l l e r i s c o m p a r e d t o t h e p e r f o r m a n c e o f a n o t h e r d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l l e r b a s e d o n t h e l i n e a r q u a d r a t i c r e g u l a t o r ( L Q R ) o p t i m i z a t i o n c r i t e r i a . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l s o l u t i o n a r e t h e n c o n d u c t e d f o r a 2 0 - s t o r y b e n c h m a r k s t r u c t u r e u s i n g d i f f e r e n t d e c e n t r a l i z e d s y s t e m a r c h i t e c t u r e s . S i m u l a t i o n s u s i n g b o t h i d e a l a n d r e a l i s t i c s t r u c t u r a l c o n t r o l d e v i c e s i l l u s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l s o l u t i o n .
K e y w o r d s : H - i n f i n i t y c o n t r o l , f e e d b a c k s t r u c t u r a l c o n t r o l , d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l , s m a r t structures.
INTRODUCTION
Real-time feedback control has been a topic of great interest to the structural engineering community over the last few decades ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA [1-4]. A feedback structural control system includes an integrated network of sensors, controllers, and control devices that are installed in the civil structure to mitigate undesired vibrations during external excitations, such as earthquakes or typhoons. Under an external excitation, the dynamic response of the structure is measured by sensors. This sensor data is communicated to a centralized controller that uses the data to calculate an optimal control solution. The optimal solution is then dispatched by the controller to control devices which directly (i.e. active devices) or indirectly (i.e. semi-active devices) apply forces to the structure. This process repeats continuously in real time to mitigate, or even eliminate, undesired structural vibrations. Typical devices for feedback structural control include semi-active hydraulic dampers (SHD), magnetorheological (MR) dampers, active mass dampers (AMD), among others. It was recently reported that more than 50 buildings and towers have been successfully instrumented with various types of structural control systems from 1989 to 2003 ADDIN EN.CITE Chu20052226Chu, S. Y.Soong, T. T.Reinhorn, Andrei M.Active, Hybrid, and Semi-active Structural Control: a Design and Implementation Handbookx, 284Structural control (Engineering)2005Hoboken, NJWiley0470013524 (alk. paper)624.1/71ENG STACKS TA654.9 .C45 2005 STKS 1[5].
Traditional feedback structural control systems employ centralized architectures. In such an architecture, one central controller is responsible for collecting data from all the sensors in the structure, making control decisions, and dispatching these control decisions to control devices. Hence, the requirements on communication range and data transmission bandwidth increase with the size of the structure and with the number of sensors and control devices being deployed. These communication requirements could result in great economical and technical difficulties for the application of feedback control systems in increasingly larger civil structures. Furthermore, the centralized controller itself is a single point of potential failure; failure of the controller may paralyze the whole control system. In order to overcome these inherent challenges, decentralized control architectures could be alternatively adopted ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA [6-8]. For example, a structural control system consisting of 88 fully decentralized semi-active oil dampers has been installed in the 170m-tall Shiodome Tower in Tokyo, Japan ADDIN EN.CITE SHIMIZU200423223223247Kan ShimizuToshikazu YamadaJun TagamiHaruhiko KurinoVibration tests of actual buildings with semi-active switching oil damperProceedings of the 13th World Conference on Earthquake Engineering2004August 1 - 6Vancouver, B.C., Canada[9]. In a decentralized control system architecture, multiple controllers are distributed throughout the structure. Acquiring data only from a local sub-set of sensors, each controller commands control devices in its vicinity. The benefits of localizing a sub-set of sensors and control devices to each controller include the need for shorter communication ranges and reduced data transmission rates in the control system. Decentralization also eliminates the risk of global control system failure if one of the controllers should fail.
Decentralized control design based on the linear quadratic regulator (LQR) optimization criteria has been previously explored by the authors to study the feasibility of utilizing wireless sensors as controllers for feedback structural control ADDIN EN.CITE Wang200721212117Wang, YangSwartz, R. AndrewLynch, Jerome P.Law, Kincho H.Lu, Kung-ChunLoh, Chin-HsiungDecentralized civil structural control using real-time wireless sensing and embedded computingSmart Structures and SystemsSmart Struct. Syst.Smart Structures and Systems321-340332007Wang200753535332Yang WangWireless Sensing and Decentralized Control for Civil Structures: Theory and ImplementationDepartment of Civil and Environmental EngineeringPhD2007Stanford, CAStanford University[10; 11]. This paper investigates a different approach to the design of a decentralized c o n t r o l s y s t e m b a s e d o n Hš " c o n t r o l t h e o r y , w h i c h i s k n o w n t o o f f e r e x c e l l e n t c o n t r o l p e r f o r m a n c e w h e n w o r s t - c a s e e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s a r e e n c o u n t e r e d . D u e t o t h e m u l t i p l i c a t i v e p r o p e r t y o f t h e Hš " n o r m A D D I N E N . C I T E < E n d N o t e > < C i t e > < A u t h o r > S k o g e s t a d < /Author>20051291291296Skogestad, SigurdPostlethwaite, IanMultivariable Feedback Control: Analysis and Designxiv, 5742ndFeedback control systems.2005Chichester, West Sussex, EnglandJohn Wiley047001167X (HB)
0470011688629.8/3ENG CHECKEDOUT TJ216 .S47 2005 STKS 1[12], Hš " c o n t r o l d e s i g n i s a l s o c o n v e n i e n t f o r r e p r e s e n t i n g m o d e l i n g u n c e r t a i n t i e s ( a s i s t y p i c a l i n m o s t c i v i l s t r u c t u r e s ) . C e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l l e r i m p l e m e n t a t i o n i n t h e c o n t i n u o u s - t i m e d o m a i n f o r c i v i l s t r u c t u r a l c o n t r o l h a s b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d A D D I N E N . C I T E A D D I N E N . C I T E . D A T A [ 1 3 - 1 9 ] . P r e v i o u s r e s e a r c h i l l u s t r a t e s t h e f e a s i b i l i t y a n d e f f e c t i v e n e s s o f c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l f o r c i v i l s t r u c t u r e s . I t h a s b e e n s h o w n t h a t w h e n c o m p a r e d w i t h t r a d i t i o n a l l i n e a r q u a d r a t i c G a u s s i a n ( L Q G ) c o n t r o l l e r s , Hš " šc o n t r o l l e r s c a n a c h i e v e e i t h e r c o m p a r a b l e o r e v e n s u p e r i o r p e r f o r m a n c e A D D I N E N . C I T E A D D I N E N . C I T E . D A T A [ 2 0 ; 2 1 ] . H o w e v e r , d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l l e r d e s i g n , e i t h e r i n t h e c o n t i n u o u s t i m e d o m a i n o r d i s c r e t e t i m e d o m a i n , h a s r a r e l y b e e n e x p l o r e d b y t h e c o m m u n i t y .
O n e i m p o r t a n t f e a t u r e o f Hš " šc o n t r o l i s t h a t t h e c o n t r o l s o l u t i o n c a n b e f o r m u l a t e d a s a n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w i t h c o n s t r a i n t s e x p r e s s e d b y l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s ( L M I ) A D D I N E N . C I T E < E n d N o t e > < C i t e > < A u t h o r > B o y d < / A u t h o r > < Y e a r > 1 9 9 4 6060606Boyd, Stephen P.El Ghaoui, LaurentFeron, EricBalakrishnan, VenkataramananLinear Matrix Inequalities in System and Control Theoryix, 193Control theory.Matrix inequalities.Mathematical optimization.1994Philadelphia, PASIAM089871334X515/.64MATH-CS STACKS QA402.3 .L489 1994 STKS 1
MATH-CS STACKS QA402.3 .L489 1994 STKS 2[22]. For such problems, sparsity patterns can be easily applied to the controller matrix variables. This property offers significant convenience for designing decentralized controllers, where certain sparsity patterns can be applied to the gain matrices consistent with certain desired feedback architecture. This paper present pilots studies investigating the feasibility of decentralized Hš " šc o n t r o l t h a t m a y b e e m p l o y e d i n l a r g e - s c a l e s t r u c t u r a l c o n t r o l s y s t e m s . M o r e s p e c i f i c a l l y , d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l l e r d e s i g n i s p r e s e n t e d i n b o t h t h e c o n t i n u o u s - t i m e a n d d i s c r e t e - t i m e d o m a i n s . U s i n g p r o p e r t i e s o f L M I , t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l p r o blem is converted into a convex optimization problem that can be conveniently solved using available mathematical packages.
Numerical simulations are conducted to validate the performance of the proposed controller design. In the first example, a 3-story structure is used to demonstrate the detailed procedure for the design of the decentralized Hš " šc o n t r o l l e r . T h e c o n t r o l p e r f o r m a n c e o f d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l l e r s i s t h e n c o m p a r e d w i t h t h e p e r f o r m a n c e o f d e c e n t r a l i z e d L Q R - b a s e d c o n t r o l l e r s A D D I N E N . C I T E < E n d N o t e > < C i t e > < A u t h o r > W a n g < / A u t h o r > < Y e a r > 2 0 0 7 < / Y e a r > < R e c N u m > 2 1 < / R e c N u m > < r e c o r d > < r e c - n u m b e r >212117Wang, YangSwartz, R. AndrewLynch, Jerome P.Law, Kincho H.Lu, Kung-ChunLoh, Chin-HsiungDecentralized civil structural control using real-time wireless sensing and embedded computingSmart Structures and SystemsSmart Struct. Syst.Smart Structures and Systems321-340332007Wang200753535332Yang WangWireless Sensing and Decentralized Control for Civil Structures: Theory and ImplementationDepartment of Civil and Environmental EngineeringPhD2007Stanford, CAStanford University[1 0 ; 1 1 ] . I n t h e s e c o n d e x a m p l e , s i m u l a t i o n s o f a 2 0 - s t o r y b e n c h m a r k s t r u c t u r e a r e c o n d u c t e d t o i l l u s t r a t e t h e e f f i c a c y o f t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l s o l u t i o n f o r l a r g e - s c a l e c i v i l s t r u c t u r e s . D i f f e r e n t i n f o r m a t i o n f e e d b a c k a r c h i t e c t u r e s a n d c o n t r o l s a mpling rates are employed so as to provide an in-depth study of the proposed approaches. Control performance using ideal actuators and large-capacity semi-active hydraulic (SHD) dampers are presented for the 20-story structure. Performance of the decentralized control system is compared with passive control cases where the SHD dampers are fixed at minimum or maximum damping settings.
FORMULATION OF DECENTRALIZED Hš " šC O N T R O L
T h i s s e c t i o n f i r s t d i s c u s s e s t h e d e s i g n o f a d e c e n t r a l i z e d šHš " šc o n t r o l l e r f o r s t r u c t u r a l c o n t r o l i n t h e c o n t i n u o u s - t i m e d o m a i n . T h e c o n t r o l l e r s c o u n t e r p a r t i n t h e d i s c r e t e - t i m e d o m a i n i s t h e n d e r i v e d . I n b o t h d e r i v a t i o n s , p r o p e r t i e s o f l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s a r e u t i l i z e d t o c o n v e n i e n t l y c o n v e r t t h e f o r m u l a t i o n o f t h e d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l d e s i g n p r o b l e m i n t o a c o n v e x o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h a t c a n b e s o l v e d b y a v a i l a b l e m a t h e m a t i c a l p a c k a g e s .
C o n t i n u o u s - t i m e d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l
F o r a lumped-mass structural model with n degrees-of-freedom (DOF) and controlled by m2 control devices, the equations of motion can be formulated as:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 1)
where q(t) EMBED Equation.DSMT4 is the displacement vector relative to the ground; M, C, K EMBED Equation.DSMT4 are the mass, damping, and stiffness matrices, respectively; u(t) EMBED Equation.DSMT4 and w(t) EMBED Equation.DSMT4 are the control force and external excitation vectors, respectively; and Tu EMBED Equation.DSMT4 and Tw EMBED Equation.DSMT4 are the external excitation and control force location matrices, respectively.
For simplicity, the discussion is based on a 2-D shear-frame structure subject to unidirectional ground excitation. In the example structure shown in REF _Ref168567348 \h \* MERGEFORMAT Figure 1, it is assumed that the external excitation, w(t), is a scalar (m1 = 1) containing the ground acceleration time history EMBED Equation.DSMT4 ; the spatial load pattern Tw is then equal to EMBED Equation.DSMT4 . Entries in u(t) are defined as the control forces between neighboring floors. For the 3-story structure, if a positive control force is defined to be moving the floor above the device towards the left direction, and moving the floor below the device towards the right direction (as shown in REF _Ref168567348 \h \* MERGEFORMAT Figure 1), the control force location matrix Tu is defined as:
Figure SEQ Figure \* ARABIC \s 1 1. A three-story controlled structure excited by unidirectional ground motion.
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 2)
The second-order ordinary differential equation (ODE), Eq. REF _Ref200386559 \h \* MERGEFORMAT (1), can be converted to a first order ODE by the state-space formulation as follows:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 3)
where EMBED Equation.DSMT4 is the state vector; AI EMBED Equation.DSMT4 , BI EMBED Equation.DSMT4 , and EI EMBED Equation.DSMT4 are the system, control, and excitation matrices, respectively:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 4)
In this study, it is assumed that inter-story drifts and velocities are measurable. The displacement and velocity variables in EMBED Equation.DSMT4 , which are relative to the ground, are first transformed into inter-story drifts and velocities (i.e. drifts and velocities between neighboring floors). The inter-story drifts and velocities at each story are then grouped together as:
x = [q1 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ]T( SEQ Equation \* ARABIC 5)
A linear transformation matrix EMBED Equation.DSMT4 can be defined such that EMBED Equation.DSMT4 . Substituting EMBED Equation.DSMT4 into Eq. REF _Ref180755376 \h \* MERGEFORMAT (3), and left-multiplying the equation with EMBED Equation.DSMT4 , the state space representation with the transformed (inter-story) state vector becomes:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 6)
where
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 7)
The system output z(t) EMBED Equation.DSMT4 is defined as the sum of linear transformations to the state vector x(t) and the control vector u(t):
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 8)
where Cz EMBED Equation.DSMT4 and Dz EMBED Equation.DSMT4 are the output matrices for the state and control force vectors, respectively. Assuming static state feedback, the control force u(t) is determined by u(t) = Gx(t), where G EMBED Equation.DSMT4 is termed the control gain matrix. Substituting Gx(t) for u(t) in Eq. REF _Ref180755612 \h \* MERGEFORMAT (6) and Eq. REF _Ref180755614 \h \* MERGEFORMAT (8), the state-space equations of the closed-loop system can be written as:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 9)
where
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 10)
In the frequency-domain, the system dynamics can be represented by the transfer function Hzw(s) EMBED Equation.DSMT4 from disturbance w(t) to output z(t) as ADDIN EN.CITE Zhou19964646466Zhou, KeminDoyle, John ComstockGlover, K.Robust and Optimal Controlxx, 596Control theory.Mathematical optimization.1996Englewood Cliffs, NJPrentice Hall0134565673629.8/312ENG CHECKEDOUT QA402.3 .Z48 1996 STKS 1[23]:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 11)
where s is the complex Laplacian variable. The objective of EMBED Equation.DSMT4 control is to minimize the EMBED Equation.DSMT4 -norm of the closed-loop system, which in the frequency domain is defined as:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 12)
where wš r e p r e s e n t s a n g u l a r f r e q u e n c y , j i s t h e i m a g i n a r y u n i t , E M B E D E q u a t i o n . 3 d e n o t e s t h e l a r g e s t s i n g u l a r v a l u e o f a m a t r i x , a n d s u p d e n o t e s t h e s u p r e m u m ( l e a s t u p p e r b o u n d ) o f a s e t o f r e a l n u m b e r s . T h e d e f i n i t i o n s h o w s t h a t i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n , t h e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 - n o r m o f t h e s y s t e m i s e q u a l t o t h e p e a k o f t h e l a r g e s t s i n g u l a r v a l u e o f t h e t r a n s f e r f u n c t i o n E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 a l o n g t h e i m a g i n a r y a x i s ( w h e r e s = j wš) . T h e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 - n o r m a l s o h a s a n e q u i v a l e nt interpretation in the time domain, as the supremum of the 2-norm amplification from the disturbance to the output:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 13)
where the 2-norm of a signal f(t) is defined as EMBED Equation.DSMT4 , which represents the energy level of a signal. In this study, the EMBED Equation.DSMT4 -norm can be viewed as the upper limit of the amplification factor from the disturbance (i.e. seismic ground motion) energy to the output (i.e. structural response) energy. The disturbance is called a worst-case disturbance when this upper limit is reached. By minimizing the EMBED Equation.DSMT4 -norm, the system output (which includes structural response measures) can be greatly reduced when a worst-case disturbance (which is the earthquake excitation) is applied.
According to the Bounded Real Lemma, the following two statements are equivalent for a EMBED Equation.DSMT4 šc o n t r o l l e r t h a t m i n i m i z e s t h e s m a l l e s t u p p e r b o u n d o f t h e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 n o r m o f a c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m A D D I N E N . C I T E < E n d N o t e > < C i t e > < A u t h o r > B o y d < / A u t h o r > < Y e a r > 1 9 9 4 < / Y e a r > < R e c N u m > 6 0 < / R e c N u m > < r e c o r d > < r e c - n u m b e r > 6 0 < / r e c - n u m b e r > < f o r e i g n - k e y s >606Boyd, Stephen P.El Ghaoui, LaurentFeron, EricBalakrishnan, VenkataramananLinear Matrix Inequalities in System and Control Theoryix, 193Control theory.Matrix inequalities.Mathematical optimization.1994Philadelphia, PASIAM089871334X515/.64MATH-CS STACKS QA402.3 .L489 1994 STKS 1
MATH-CS STACKS QA402.3 .L489 1994 STKS 2[22]:
EMBED Equation.3 and ACL is stable in the continuous-time sense (i.e. the real parts of all the eigenvalues of ACL are negative);
There exists a symmetric positive-definite matrix EMBED Equation.DSMT4 such that following inequality holds:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 14)
where * denotes the symmetric entry (in this case, EMBED Equation.DSMT4 ), and < 0 means that the matrix at the left side of the inequality is negative definite. Using the closed-loop matrix definitions in Eq. REF _Ref180756325 \h \* MERGEFORMAT (10), Eq. REF _Ref180756334 \h \* MERGEFORMAT (14) becomes:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 15)
The above nonlinear matrix inequality can be converted into a set of linear matrix inequality (LMI) by introducing a new variable EMBED Equation.DSMT4 where EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 16)
In summary, the continuous-time EMBED Equation.DSMT4 control problem is now transformed into a convex optimization problem:
minimize (
subject to EMBED Equation.DSMT4 and the LMI expressed in Eq. REF _Ref180756492 \h \* MERGEFORMAT (16)( SEQ Equation \* ARABIC 17)
Here Y, EMBED Equation.DSMT4 , and ( are the optimization variables. Numerical solutions to this optimization problem can be computed, for example, using the Matlab LMI Toolbox ADDIN EN.CITE Gahinet19956161616Gahinet, PascalLMI Control Toolbox for Use with MATLAB1 v. (various pagings)Numerical analysis Computer programs Handbooks, manuals, etc.Matrix inequalities Computer programs Handbooks, manuals, etc.1995Natick, MAMathWorks Inc.QA297GREEN SSRC-SSDS QA297 .L564 1995 REF 1
GREEN SSRC-SSDS QA297 .L564 1995 REF 2[24] or the convex optimization package CVX ADDIN EN.CITE Grant200717417417412M. GrantS. BoydCVX: Matlab software for disciplined convex programming (web page and software)2008June 182007http://stanford.edu/~boyd/cvx[25]. After the optimization problem is solved, the control gain matrix is computed as:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 18)
In general, the algorithm finds a gain matrix without any sparsity constraints; in other words, it represents a control scheme consistent with a centralized state feedback architecture. To compute gain matrices for decentralized state feedback control, appropriate sparsity constraints can be applied to the optimization variables Y and EMBED Equation.DSMT4 while solving the optimization problem of Eq. REF _Ref200451458 \h \* MERGEFORMAT (17). In most available numerical packages, the sparsity constraints can be conveniently defined by assigning corresponding zero entries to the Y and EMBED Equation.DSMT4 optimization variables. For example, gain matrices of the following sparsity patterns may be employed for a 3-story structure:
EMBED Equation.DSMT4 , and EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 19)
Note that each entry in the above matrices represents a 1 ( 2 block. According to the linear feedback control law EMBED Equation.3 , when the sparsity pattern in GI is used, only the inter-story drift and velocity at the i-th story are needed to determine the control force EMBED Equation.DSMT4 at the same story. When the sparsity pattern in GII is adopted, the inter-story drifts and velocities from both the i-th story and the neighboring stories (story) are needed in order to determine the control force EMBED Equation.DSMT4 at the i-th story. Considering the relationship between G and Y as specified in Eq. REF _Ref180756879 \h \* MERGEFORMAT (18), to find control gain matrices satisfying the shape constraints in GI, the following shape constraints may be applied to the optimization variables Y and EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 , and EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 20)
Similarly, to compute control gain matrices satisfying the shape constraints of GII, the following shape constraints may be applied to the optimization variables:
EMBED Equation.DSMT4 , and EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 21)
It is important to realize that due to the constraints imposed on the Y and EMBED Equation.DSMT4 variables, the presented decentralized EMBED Equation.DSMT4 controller precludes the possibility that a decentralized gain matrix may exist with Y and EMBED Equation.DSMT4 variables not satisfying the corresponding shape constraints. For example, it is possible that a gain matrix may satisfy the sparsity pattern in GI while the corresponding Y and EMBED Equation.DSMT4 variables do not conform to the sparsity patterns shown in Eq. REF _Ref181014705 \h \* MERGEFORMAT (20). The application of sparsity patterns to Y and EMBED Equation.DSMT4 variables makes the gain matrix easily computable using numerical software packages, although the approach may not be able to explore the complete solution space of decentralized gain matrices. That is, the approach for decentralized EMBED Equation.DSMT4 controller design may not guarantee that a minimum EMBED Equation.DSMT4 -norm is obtained over the c o m p l e t e s o l u t i o n s p a c e ; r a t h e r , o n l y a m i n i m u m E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 - n o r m i s o b t a i n e d f o r t h e s o l u t i o n s p a c e c o n t a i n e d w i t h i n t h e b o u n d a r y i m p o s e d b y t h e s h a p e c o n s t r a i n t s o n Y a n d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 .
D i s c r e t e - t i m e d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l
F o r i m p l e m e n t a t i o n i n t y p i c a l d i g i t a l c o n t r o l s y s t e m s , t h e d e c e n t r a l i z e d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šc o n t r o l d e s i g n i n d i s c r e t e - t i m e d o m a i n i s n e e d e d . U s i n g z e r o - o r d e r h o l d ( Z O H ) e q u i v a l e n t s , t h e c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m i n E q . R E F _ R e f 1 8 0 8 5 3 4 8 4 \ h \* MERGEFORMAT (9) can be transformed into an equivalent discrete-time system ADDIN EN.CITE Franklin19986262626Franklin, Gene F.Powell, J. DavidWorkman, Michael L.Digital Control of Dynamic Systemsxxiii, 7423rdDigital control systems.Dynamics.1998Menlo Park, CAAddison-Wesley0201820544629.8/9ENG CHECKEDOUT TJ223 .M53 F73 1998 STKS 1[26]:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 22)
where the subscript d indicates that the variables are expressed in the discrete-time domain, and the closed-loop system matrices AdCL and CdCL are defined accordingly:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 23)
For linear state feedback, the control force EMBED Equation.DSMT4 is determined as EMBED Equation.3 . According to the Bounded Real Lemma, the following two statements are equivalent for discrete-time systems ADDIN EN.CITE Zhou19964646466Zhou, KeminDoyle, John ComstockGlover, K.Robust and Optimal Controlxx, 596Control theory.Mathematical optimization.1996Englewood Cliffs, NJPrentice Hall0134565673629.8/312ENG CHECKEDOUT QA402.3 .Z48 1996 STKS 1[23]:
The EMBED Equation.DSMT4 -norm of the closed-loop system in Eq. REF _Ref180853904 \h \* MERGEFORMAT (22) is less than (, and AdCL is stable in the discrete-time sense (i.e. all of the eigenvalues of AdCL fall in the unit circle on the complex plane);
There exists a symmetric matrix EMBED Equation.DSMT4 such that the following inequality holds:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 24)
Replacing EMBED Equation.DSMT4 with EMBED Equation.DSMT4 and using the Schur complement ADDIN EN.CITE Boyd19946060606Boyd, Stephen P.El Ghaoui, LaurentFeron, EricBalakrishnan, VenkataramananLinear Matrix Inequalities in System and Control Theoryix, 193Control theory.Matrix inequalities.Mathematical optimization.1994Philadelphia, PASIAM089871334X515/.64MATH-CS STACKS QA402.3 .L489 1994 STKS 1
MATH-CS STACKS QA402.3 .L489 1994 STKS 2[22] and congruence transformation, the above matrix inequality in Eq. REF _Ref200453372 \h \* MERGEFORMAT (24) can be shown as equivalent to:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 25)
Left-multiplying and right-multiplying the above matrix with a positive definite matrix diag( EMBED Equation.DSMT4 ), and letting EMBED Equation.DSMT4 , the following matrix inequality is obtained:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 26)
Similar to the continuous-time system, by replacing the closed-loop matrices AdCL and CdCL in Eq. REF _Ref180854082 \h \* MERGEFORMAT (26) with their definitions in Eq. REF _Ref180854110 \h \* MERGEFORMAT (23), and letting EMBED Equation.DSMT4 , the above matrix inequality can be converted into:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 27)
Therefore, the discrete-time EMBED Equation.DSMT4 control problem can be converted to a convex optimization problem with LMI constraints:
minimize (
subject to EMBED Equation.DSMT4 and the LMI expressed in Eq. REF _Ref181014573 \h \* MERGEFORMAT (27)( SEQ Equation \* ARABIC 28)
Here again, Yd, (d, and ( are the optimization variables. After the optimization problem is solved, the control gain matrix is computed as:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 29)
Furthermore, sparsity patterns of the gain matrix can be achieved by adopting appropriate patterns to the LMI variables Yd and (d, as illustrated in the previous description for the continuous-time case.
NUMERICAL SIMULATIONS
In section 3.1, a 3-story structure is used to demonstrate the detailed procedures of designing the decentralized Hš " šc o n t r o l l e r . P e r f o r m a n c e o f t h e Hš " šc o n t r o l l e r s i s c o m p a r e d w i t h t h e p e r f o r m a n c e o f c o n t r o l l e r s b a s e d o n t h e L Q R o p t i m i z a t i o n c r i t e r i a . I n s e c t i o n 3 . 2 , s i m u l a t i o n s u s i n g a 2 0 - s t o r y b e n c h m a r k s t r u c t u r e a r e c o n d u c t e d t o i l l u s t r a t e t h e e f f i c a c y o f t h e d e c e n t r a l i z e d Hš " šc o n t r o l s o l u t i o n f o r l a r g e - s c a l e c i v i l s t r u c t u r e s . R e s u l t s u s i n g b o t h i d e a l a c t u a t o r s a n d l a r g e - c a p a c i t y s e m i - a c t i v e h y d r a u l i c ( S H D ) d a m p e r s a r e p r e s e n t e d f o r t h e 2 0 - s t o r y s t r u c t u r e .
N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a 3 - s t o r y s t r u c t u r e
D e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l
S i n c e t h e d i s c r e t e - t i m e f o r m u l a t i o n i s s u i t a b l e f o r i m p l e m e n t a t i o n i n m o d e r n d i g i t a l c o n t r o l l e r s , n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a r e c o n d u c t e d u s i n g d i s c r e t e - t i m e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šc o n t r o l l e r s f o r m u l a t e d b y t h e p r o c e d u r e s l a i d o u t i n S e c t i o n REF _Ref200453469 \n \h \* MERGEFORMAT 2.2. Simulations of a 3-story shear-frame structure are first introduced to illustrate the detailed procedures of decentralized EMBED Equation.DSMT4 control design. As shown in the formulation, the building is modeled as an in-plane lumped-mass shear structure with one actuator allocated between every two neighboring floors. It is assumed that both the inter-story drifts and inter-story velocities between every two neighboring floors are measurable. Such an assumption is reasonable considering that modern semi-active hydraulic dampers contain internal stroke sensors and load cells that measure real-time damper displacements and forces, respectively ADDIN EN.CITE Haruhiko200323523523517Haruhiko KurinoJun TagamiKan ShimizuTakuji KoboriSwitching oil damper with built-in controller for structural controlJournal of Structural EngineeringJ. Struct. Engrg.Journal of Structural Engineering895-9041297structural engineeringcontrollersdampingwindearthquakessensors2003http://link.aip.org/link/?QST/129/895/1http://dx.doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(2003)129:7(895)[27]. Assuming a V-brace element like those in REF _Ref168567348 \h \* MERGEFORMAT Figure 1, the displacement and force measurements can be used to estimate inter-story drift and velocity. The example structure used herein has the following mass, stiffness, and damping matrices:
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 kg, EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 N/m, EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 N/(m/s)( SEQ Equation \* ARABIC 30)
When the external excitation is unidirectional ground motion, the continuous-time system matrices A, B, E can be formulated using Eq. REF _Ref180923984 \h \* MERGEFORMAT (7):
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 31)
Note that the state-space vector corresponding to these matrices no longer contains displacements and velocities relative to the ground. Instead, the vector has been formulated to contain inter-story drifts and velocities that are grouped by floors, as shown in Eq. REF _Ref180929313 \h \* MERGEFORMAT (5). The above matrices in the continuous-time domain can be converted into their discrete-time equivalents for a given sampling frequency. For the results presented here, a sampling frequency of 100 Hz is employed. The output matrices Cz and Dz in Eq. REF _Ref180854110 \h \* MERGEFORMAT (23) are defined as:
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 32)
The above assignments for Cz and Dz make the 2-norm of the output vector EMBED Equation.DSMT4 a quadratic function of the inter-story drifts and control forces:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 33)
Using the system matrices defined above in Eqs. REF _Ref181181612 \h \* MERGEFORMAT (31) and REF _Ref200462846 \h \* MERGEFORMAT (32), the convex optimization problem in Eq. REF _Ref181014542 \h \* MERGEFORMAT (28) can be solved according to different sparsity requirements imposed on the Yd and (d matrices. In this example, sparsity patterns I and II defined in Eq. REF _Ref181014705 \h \* MERGEFORMAT (20) and REF _Ref181014707 \h \* MERGEFORMAT (21) are first employed. For these two patterns, solutions to the optimization problem result in the following decentralized control gain matrices, respectively:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 34) EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 35)
When no sparsity pattern is applied to Yd and (d, a full gain matrix representing centralized feedback is generated:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 36 )
T a b l e S E Q T a b l e \ * M E R G E F O R M A T 1 . E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 ša n d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 - n o r m s o f t h e o p e n - l o o p t r a n s f e r f u n c t i o n E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 a n d t h e c l o s e d - l o o p n o r m s u s i n g b o t h t h e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 c o n t r o l l e r s a n d L Q R c o n t r o l l e r s š
O p e n - l o o p
( U n c o n t r o l l e d ) C l o s e d - l o o p F u l l y d e c e n t r a l i z e d P a r t i a l l y d e c e n t r a l i z e d C e n t r a l i z e d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 G d I ( E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 ) E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 G d I I ( E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 ) E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 G d I I I ( E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 ) E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 n o r m 8 . 4 3 6 6 1 . 2 8 3 6 0 . 8 5 2 1 1 . 0 4 6 2 0 . 7 0 7 6 0 . 9 9 2 2 0 . 7 0 4 5 E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šn o r m 0 . 4 6 5 7 0 . 1 8 7 4 0 . 3 0 2 0 0 . 1 7 8 6 0 . 5 0 2 7 0 . 1 7 7 2 0 . 6 1 0 8
T h e o p e n - l o o p E M B E D E q u a t i o n . D S M T4 -norm of the uncontrolled structure and the closed-loop EMBED Equation.DSMT4 -norms of the controlled structure using the above gain matrices are listed in REF _Ref181015957 \h \* MERGEFORMAT Table 1. The EMBED Equation.DSMT4 -norm of the uncontrolled structure is computed using the discrete-time system defined in Eq. REF _Ref180853904 \h \* MERGEFORMAT (22) with the gain matrix Gd set as a zero matrix. Comparing the four cases presented herein, the uncontrolled structure has the highest EMBED Equation.DSMT4 -norm (8.4366), which indicates the largest worst-case amplification from the excitation input wd to the output zd. Among the three controlled cases, because the centralized case with gain matrix GdIII assumes that complete state information is available for control decisions, the lowest EMBED Equation.DSMT4 -norm (0.7045) is achieved (which means best control performance). The fully decentralized case with gain matrix GdI has the largest norm (0.8521) among the three EMBED Equation.DSMT4 controllers; this is expected because the fully decentralized controller has the least amount of information available for calculating control decisions for each control device.
The 1940 El Centro NS (Imperial Valley Irrigation District Station) earthquake record with its peak acceleration scaled to 1m/s2 is used as the ground excitation. Three ideal actuators that generate any desired control force are deployed at the three stories. Maximum inter-story drifts and control forces during the dynamic response are plotted in REF _Ref181183344 \h \* MERGEFORMAT Figure 2. The inter-story drift plots in REF _Ref181183344 \h \* MERGEFORMAT Figure 2(a) include the results for the uncontrolled structure and the structure controlled using the three different gain matrices. Using ideal actuators, all three controlled cases achieve significant reduction in inter-story drifts compared with the uncontrolled case. Among the three controlled cases, the fully decentralized case using gain matrix GdI achieves the smallest reduction in inter-story drifts, which is consistent with the performance comparison indicated by the EMBED Equation.DSMT4 -norms in REF _Ref181015957 \h \* MERGEFORMAT Table 1. The difference between the cases using gain matrices GdII and GdIII is minor, with GdIII achieving slightly better performance. REF _Ref181183344 \h \* MERGEFORMAT Figure 2(b) presents the peak control forces for the three controlled cases. The fully decentralized controller imposes the lowest requirements on the control force capacity. The peak control forces are similar between the partially decentralized case GdII and the centralized case GdIII.
Comparison with decentralized LQR control
(a)
(b)Figure SEQ Figure \* ARABIC \s 1 2. Simulation results when ideal actuators are deployed on the 3-story structure.
It could be instructive to compare the decentralized EMBED Equation.DSMT4 controller design with the decentralized LQR controller design that was previously studied ADDIN EN.CITE Wang200721212117Wang, YangSwartz, R. AndrewLynch, Jerome P.Law, Kincho H.Lu, Kung-ChunLoh, Chin-HsiungDecentralized civil structural control using real-time wireless sensing and embedded computingSmart Structures and SystemsSmart Struct. Syst.Smart Structures and Systems321-340332007[10]. The LQR control algorithm aims to select the optimal control force trajectory ud by minimizing the expected value of a quadratic cost function, J :
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 37)
Using the same definition of the output matrices as described in Eq. REF _Ref200462846 \h \* MERGEFORMAT (32), the following weighting matrices are employed for the LQR controller design:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 38) EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 39)
As a result, the LQR optimization index J is proportional to the signal 2-norm of the system output:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 40)
where EMBED Equation.DSMT4 is the sampling period, and note that EMBED Equation.DSMT4 and EMBED Equation.DSMT4 using the definitions in Eq. REF _Ref200462846 \h \* MERGEFORMAT (32). The design of the LQR controller iteratively searches for an optimal control gain matrix by traversing along the optimization gradient. Sparsity shape constraints are iteratively applied to the search gradient in order to compute decentralized gain matrices. As a result, the following three decentralized/centralized LQR gain matrices can be computed:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 41) EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 42) EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 43)
REF _Ref181015957 \h \* MERGEFORMAT Table 1 also lists the EMBED Equation.DSMT4 ša n d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 - n o r m s o f t h e o p e n - l o o p t r a n s f e r f u n c t i o n E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 a n d t h e c l o s e d - l o o p n o r m s u s i n g b o t h t h e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 c o n t r o l l e r s a n d t h e L Q R c o n t r o l l e r s . S i n c e t h e L Q R c o n t r o l a p p r o a c h i s e q u i v a l e n t t o an EMBED Equation.DSMT4 control design that minimizes the closed-loop EMBED Equation.DSMT4 -norm, LQR controllers are expected to perform well in reducing the closed-loop EMBED Equation.DSMT4 -norm ADDIN EN.CITE Skogestad20051291291296Skogestad, SigurdPostlethwaite, IanMultivariable Feedback Control: Analysis and Designxiv, 5742ndFeedback control systems.2005Chichester, West Sussex, EnglandJohn Wiley047001167X (HB)
0470011688629.8/3ENG CHECKEDOUT TJ216 .S47 2005 STKS 1Burl19992342342346Burl, Jeffrey B.<style face="normal" font="default" size="100%">Linear optimal control : H</style><style face="subscript" font="default" size="100%">2</sty l e > < s t y l e f a c e = " n o r m a l " f o n t = " d e f a u l t " s i z e = " 1 0 0 % " > a n d H < / s t y l e > < s t y l e f a c e = " s u b s c r i p t " f o n t = " d e f a u l t " s i z e = " 1 0 0 % " > "< / s t y l e > < s t y l e f a c e = " n o r m a l " f o n t = " d e f a u l t " s i z e = " 1 0 0 % " > m e t h o d s < / s t y l e > < / t i t l e > < / t i t l e s > < p a g e s > x x i , 4 6 2 p . < / p a g e s > < k e y w o r d s > < k e y w o r d > L i n e ar control systems.</keyword><keyword>H [infinity symbol] control.</keyword><keyword>H2 control.</keyword></keywords><dates><year>1999</year></dates><pub-location>Menlo Park, CA</pub-location><publisher>Addison Wesley Longman</publisher><isbn>0201808684</isbn><call-num>Main Library, 5th Floor East TJ220 .B87 1999</call-num><urls></urls></record></Cite></EndNote>[12; 28]. Similar to the EMBED Equation.DSMT4 norm, definition of the system EMBED Equation.DSMT4 -norm can also be written in terms of the singular values of the transfer function matrix:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 44)
As expected, REF _Ref181015957 \h \* MERGEFORMAT Table 1 shows that the LQR controllers, no matter decentralized or centralized, consistently perform better than their EMBED Equation.DSMT4 counterparts in reducing the EMBED Equation.DSMT4 -norm, while the EMBED Equation.DSMT4 controllers consistently perform better than their LQR counterparts in terms of reducing the E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 - n o r m .
F i g u r e S E Q F i g u r e \ * A R A B I C \ s 1 3 . S i n g u l a r v a l u e s o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m t r a n s f e r f u n c t i o n E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 u s i n g t h e d e c e n t r a l i z e d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šc o n t r o l l e r G d I a n d d e c e n t r a l i z e d L Q R c ontroller EMBED Equation.DSMT4
In this example, the second dimension of the transfer function matrix EMBED Equation.DSMT4 is one, because the disturbance w is a scalar that represents the ground excitation. Therefore, EMBED Equation.DSMT4 has only one singular value at each frequency (, which is the largest singular value. REF _Ref200796902 \h \* MERGEFORMAT Figure 3 plots the singular value of the closed-loop system transfer function EMBED Equation.DSMT4 using the decent r a l i z e d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šc o n t r o l l e r G d I a n d t h e d e c e n t r a l i z e d L Q R c o n t r o l l e r E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 . T h e d e f i n i t i o n o f t h e s y s t e m E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 n o r m i n E q . R E F _ R e f 2 0 0 7 2 3 1 4 7 \ h \ * M E R G E F O R M A T ( 1 2 ) s h o w s t h a t t h e E M B ED Equation.DSMT4 norm should be equal to the peak of the largest singular value over the frequency span. Correspondingly, REF _Ref200796902 \h \* MERGEFORMAT Figure 3 shows that the peak of the singular value using the EMBED Equation.DSMT4 šc o n t r o l l e r G d I i s 0 . 8 5 , w h i l e t h e p e a k f o r t h e L Q R c o n t r o l l e r E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 i s 1 . 2 8 ; b o t h o f w h i c h a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 n o r m s l i s t e d i n R E F _ R e f 1 8 1 0 1 5 9 5 7 \ h \ * M E R G E F O R M A T T a b l e 1 . R E F _ R e f 2 0 0 7 9 6 9 0 2 \ h \* MERGEFORMAT Figure 3 also illustrates that the decentralized EMBED Equation.DSMT4 controller excels at pushing down the peak of the largest singular value. In comparison, the decentralized LQR controller is shown to excel in reducing all singular values over the entire frequency span, which agrees with the objective of minimizing the EMBED Equation.DSMT4 norm (as defined in Eq. REF _Ref200723279 \h \* MERGEFORMAT (44)).
Simulations are conducted using the LQR controllers, with the same 1940 El Centro NS earthquake excitation scaled to 1m/s2. Three ideal actuators are again deployed at the three stories. Maximum inter-story drifts and control forces during the dynamic response are plotted in REF _Ref200536688 \h \* MERGEFORMAT Figure 4. Comparison between REF _Ref200536688 \h \* MERGEFORMAT Figure 4 and REF _Ref181183344 \h \* MERGEFORMAT Figure 2 shows that LQR controllers generally achieve less reduction to peak inter-story drifts. On the other hand, the advantage of the LQR controllers in this example is that they impose lower requirements to the force capacity of the structural control devices.
(a)
(b)Figure SEQ Figure \* ARABIC \s 1 4. Simulation results when ideal actuators are deployed on the 3-story structure.
Numerical simulation of a 20-story benchmark structure
Simulation using ideal actuators
(a)(b)Figure SEQ Figure \* ARABIC 5. Twenty-story SAC building for numerical simulations: (a) model parameters of the lumped mass s t r u c t u r e ; ( b ) c o m m u n i c a t i o n s u b n e t p a r t i t i o n i n g f o r d i f f e r e n t d e g r e e s - o f - c e n t r a l i z a t i o n ( D C ) .
T o e x p l o r e t h e p e r f o r m a n c e o f d e c e n t r a l i z e d Hš " c o n t r o l f o r a l a r g e r - s c a l e s t r u c t u r e , a 2 0 - s t o r y b e n c h m a r k b u i l d i n g d e s i g n e d f o r t h e S t r u c t u r a l E n g i n e e r s A s s o c i a tion of California (SAC) project is selected ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Spencer</Author><Year>1998</Year><RecNum>17</RecNum><record><rec-number>17</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="eds9trvs0aze5fet0e5p5r0gv0pwpe5evvp2">17</key></foreign-keys><ref-type name="Conference Paper">47</ref-type><contributors><authors><author>Spencer, B. F., Jr.</author><author>Christenson, R. E.</author><author>Dyke, S. J.</author></authors></contributors><titles><title>Next generation benchmark control problem for seismically excited buildingsProceedings of the 2nd World Conference on Structural Control1998June 29 - July 2Kyoto, Japan[29]. Same as the 3-story example, discrete-time controllers are adopted in the simulation. The building is modeled as an in-plane lumped-mass shear structure with control devices allocated between every set of neighboring floors. REF _Ref168140772 \h \* MERGEFORMAT Figure 5(a) shows the mass, stiffness, and damping parameters of the structure. In the numerical simulations, it is assumed that both the inter-story drifts and inter-story velocities between every two neighboring floors are measurable. As shown in Eq. REF _Ref180929313 \h \* MERGEFORMAT (5), the state-space equations are formulated such that the state-space vector contains inter-story drifts and velocities. Simulations are conducted for different decentralization schemes as shown in REF _Ref168140772 \h \* MERGEFORMAT Figure 5(b). The degree-of-centralization (DC) reflects the different communication architectures, with each communication subnet (as denoted by channels Ch1, Ch2, etc.) covering a limited number of stories. The control devices covered by a subnet are allowed to access the sensor data within that subnet. For example, the case where DC = 1 has each subnet covering only five stories with a total of four subnets utilized. For DC = 2, each subnet covers ten stories and a total of three subnets are utilized; meanwhile, overlaps exist between subnets for DC = 2. The gain matrices for these two decentralized information structures have following sparsity patterns:
EMBED Visio.Drawing.11 ; EMBED Visio.Drawing.11 ( SEQ Equation \* ARABIC 45)
Each entry in the above matrices represents a 5 ( 10 block submatrix. To achieve the sparsity patterns in gain matrix Gd, the matrix variable Yd in Eq. REF _Ref181014542 \h \* MERGEFORMAT (28) is defined to have the same sparsity pattern as Gd, and EMBED Equation.DSMT4 is defined to be always block-diagonal. For the cases where DC = 3 and DC = 4, the number of stories covered by each communication subnet increases accordingly, which result in fewer zero blocks in Gd. Clearly, the case where DC = 4 corresponds to a centralized feedback structure with all devices in the same subnet (i.e. Ch 1).
To investigate the effectiveness of the proposed decentralized control design, we first assume the 20-story structure is instrumented with ideal actuators that can produce any desired force. Output matrices Cz and Dz in Eq. REF _Ref180854110 \h \* MERGEFORMAT (23) are defined as:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 46)
Simulations are performed for different degrees-of-centralization (DC = 1,
,4) and sampling periods (ranging from 0.01 s to 0.06 s at a resolution of 0.01 s). Additionally, three ground motion records all scaled to a peak ground acceleration (PGA) of 1 m/s2 are used for the simulation: 1940 El Centro NS (Imperial Valley Irrigation District Station), 1995 Kobe NS (JMA Station), and 1999 Chi-Chi NS (TCU-076 Station). Two representative performance indices, J1 and J2, as proposed by Spencer, et al. ADDIN EN.CITE Spencer199817171747Spencer, B. F., Jr.Christenson, R. E.Dyke, S. J.Next generation benchmark control problem for seismically excited buildingsProceedings of the 2nd World Conference on Structural Control1998June 29 - July 2Kyoto, Japan[29] are adopted:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 47) EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 48)
Here J1 and J2 correspond to maximum inter-story drifts and output vector zd, respectively. In Eq. REF _Ref168147776 \h \* MERGEFORMAT (47), EMBED Equation.DSMT4 represents the inter-story drift between floor i (i = 1,
, n) and its lower floor at time step k, and EMBED Equation.DSMT4 is the maximum inter-story drift over the entire time history and among all floors. The maximum inter-story drift is normalized by its counterpart EMBED Equation.DSMT4 , which is the maximum response of the uncontrolled structure. The largest normalized ratio among the simulations for the three different earthquake records is defined as the performance index J1. Similarly, the performance index J2 is defined in Eq. REF _Ref200518017 \h \* MERGEFORMAT (48) based on the 2-norm of the output vector zd; i.e. EMBED Equation.DSMT4 , with K being the last time step of the simulation. When computing the two indices, a uniform sampling period of 0.001 s is used to collect the structural response data points for EMBED Equation.DSMT4 and EMBED Equation.DSMT4 , regardless of the sampling period of the feedback control scheme. Because these indices have been normalized against the performance of the uncontrolled structure, values less than one indicate that the closed-loop control solution is effective with smaller index values indicating better overall control performance.
(a)
(b)
(c)
(d)Figure SEQ Figure \* ARABIC 6. Simulation results for the 20-story SAC building instrumented with ideal actuators. The plots illustrate performance indices for different sampling steps and degrees-of-centralization (DC): (a) 3D plot for performance index J1; (b) 3D plot for performance index J2; (c) condensed 2D plot for J1; (d) condensed 2D plot for J2.
REF _Ref168148365 \h \* MERGEFORMAT Figure 6 shows the control performance indices for different degrees-of-centralization and sampling rates. Generally speaking, control performance is better for higher degrees-of-centralization and shorter sampling periods. The plots show that all control schemes achieve obvious reduction in structural response when compared to the uncontrolled case, i.e. the normalized performance indices are much less than one. To better review the simulation results, the performance indices for the four different control schemes are re-plotted as a function of sampling period in REF _Ref168148365 \h \* MERGEFORMAT Figure 6(c) and (d). REF _Ref168148365 \h \* MERGEFORMAT Figure 6(d) clearly illustrates the expected comparison among the four control cases, i.e. for each sampling time, the achieved output norm generally decreases as the degree of centralization increases.
While it may appear from REF _Ref168148365 \h \* MERGEFORMAT Figure 6 that a centralized control architecture always performs better than decentralized ones operating at the same sampling frequency, such a centralized system with high nodal counts might be economically and technically difficult to implement in large-scale civil structures. For example, significant communication and computation resources are usually required to implement a large-scale centralized control system. As a result, longer sampling periods need to be adopted, which in turn, reduces the effectiveness of the centralized solution. In contrast, if a decentralized architecture is implemented, the control system would be capable of shorter sampling periods that lead to potential improvement in the control performance. It can be observed from REF _Ref168148365 \h \* MERGEFORMAT Figure 6 that if shorter sampling periods are adopted in partially decentralized control systems (DC2 or DC3), smaller performance indices can be achieved when compared with a centralized system (DC4) that adopts a longer sampling period. The trade-off between centralization and sampling period will be further explored in the next simulation analysis.
Simulation using semi-active hydraulic dampers (SHD)
(a)(b)Figure SEQ Figure \* ARABIC 7. Instrumentation of semi-active hydraulic dampers (SHD) in the 20-story structure: (a) layout of dampers on the floor plans; (b) key parameters of the dampers.
To investigate the performance of decentralized Hš " c o n t r o l u s i n g r e a l i s t i c s t r u c t u r a l c o n t r o l d e v i c e s , s e m i - a c t i v e h y d r a u l i c d a m p e r s ( S H D ) a r e e m p l o y e d i n f u r t h e r s i m u l a t i o n s f o r t h e 2 0 - s t o r y s t r u c t u r e . T h e a r r a n g e m e n t o f S H D d a m p e r s i n t h e b u i l d i n g i s s h o w n i n R E F _ R e f 1 8 1 3 7 2 0 1 1 \ h \ * M E R G E F O R M A T Figure 7(a). From lower to higher floors, the number of instrumented SHD dampers decreases gradually from 4 to 1. REF _Ref181372011 \h \* MERGEFORMAT Figure 7(b) shows the installation of a SHD damper between two floors using a V-brace, together with key parameters of the damper. To accurately model the damping force, the Maxwell element proposed by Hatada, et al. ADDIN EN.CITE Hatada200088817Hatada, T.Kobori, T.Ishida, M.Niwa, N.Dynamic analysis of structures with Maxwell modelEarthquake Engineering & Structural DynamicsEarthq. Eng. Struct. D.Earthquake engineering & structural dynamics159-1762922000http://caslon.stanford.edu:3210/sfxlcl3?sid=google&auinit=T&aulast=Hatada&atitle=Dynamic%20analysis%20of%20structures%20with%20Maxwell%20model&id=doi%3A10.1002%2F%28SICI%291096-9845%28200002%2929%3A2%3C159%3A%3AAID-EQE895%3E3.0.CO%3B2-1 [30] is employed. In a Maxwell element, a dashpot and a stiffness spring are connected in series, which result in a damping force described by the following differential equation:
EMBED Equation.3 ( SEQ Equation \* ARABIC 49)
where u(t) and EMBED Equation.3 denote the damping force and the inter-story velocity, respectively, keff represents the effective stiffness of the damper in series with the V-brace, and EMBED Equation.DSMT4 is the adjustable damping coefficient of the SHD damper.
When the SHD damper is deployed in a feedback control system, if the desired damping force u(t) is in an opposite direction to the inter-story velocity EMBED Equation.3 , as shown in REF _Ref181372011 \h \* MERGEFORMAT Figure 7(b), the damping coefficient EMBED Equation.DSMT4 is adjusted so that the damper generates a force closest to the desired force. If the desired force is in the same direction to the inter-story velocity, the damping coefficient is set to its minimum value at 1,000 kN(s/m.
Figure SEQ Figure \* ARABIC 8. Maximum inter-story drifts for cases without control, with passive control (damping coefficients of all SHD dampers fixed at minimum or maximum), and with decentralized semi-active control (DC = 2 and 100 Hz sampling frequency).
An important criterion to consider in evaluating a feedback control system, whether being centralized or decentralized, is that the feedback control system should perform better than a passive control system. When the SHD dampers are employed, fixing the damping coefficients of all dampers at either minimum (1,000 kN(s/m) or maximum (200,000 kN(s/m) values constitutes a passive control system. REF _Ref181461519 \h \* MERGEFORMAT Figure 8 presents the simulated maximum inter-story drifts when the structure is excited using the three ground motions with the PGA (peak ground acceleration) scaled to 1m/s2: 1940 El Centro NS, 1995 Kobe NS, and 1999 Chi-Chi NS. Four cases are plotted for each earthquake: the case without control, the passive case with minimum damping, the passive case with maximum damping, and a decentralized semi-active control case. For the decentralized semi-active control case, the DC (degrees-of-centralization) is 2 ( REF _Ref168140772 \h \* MERGEFORMAT Figure 5) and the sampling frequency is 100 Hz. It is found that the decentralized EMBED Equation.DSMT4 controller with the following output matrices, Cz and Dz:
EMBED Equation.DSMT4 ( SEQ Equation \* ARABIC 50)
achieves satisfactory results. As shown in REF _Ref181461519 \h \* MERGEFORMAT Figure 8, all three control schemes, including two passive and one semi-active, reduce the maximum inter-story drifts compared with the uncontrolled case. The passive control case with maximum damping generally results in less inter-story drifts than the passive case with minimum damping, except at a few higher floors for the El Centro and Kobe earthquakes. Meanwhile, the decentralized semi-active control case not only effectively reduces drifts at lower floors, but also achieves greater mitigation of drifts at the higher floors compared to the two passive cases. Better performance of the decentralized semi-active control case is observed for all three earthquake records. For the Kobe earthquake, decentralized semi-active control reduces the drift at the 18th story by about 75% compared with the uncontrolled and the two passive control cases. This shows that in the passive case with maximum damping, dampers at each story may only attempt to reduce local responses and results in conflict among damper efforts at different stories. While in the semi-active control case that aims to minimize the overall EMBED Equation.DSMT4 norm of the global structural system, efforts from dampers at different stories can be better coordinated to reduce overall structural response.
REF _Ref201515109 \h \* MERGEFORMAT Figure 9 compares the performance indices for the 20-story structure instrumented with semi-active hydraulic dampers, when different control schemes are adopted. The two passive control schemes include the maximum and minimum damping cases. To illustrate the effect of faster sampling frequency (i.e. shorter sampling periods) in decentralized feedback control, feedback control cases with different centralization degrees (DC = 1,
,4) are associated with different sampling frequencies. For each centralization degree, the sampling frequency is selected in reverse proportion to the number of stories contained in one communication subnet (shown in REF _Ref168140772 \h \* MERGEFORMAT Figure 5). For example, a sampling frequency of 100 Hz is associated with case DC2, while a sampling frequency of 50 Hz is associated with the centralized case DC4 due to larger communication and computation burdens. The same three ground motion records scaled to a peak acceleration of 1 m/s2 are used in the simulation: 1940 El Centro NS, 1995 Kobe NS (JMA Station), and 1999 Chi-Chi. As shown in REF _Ref201515109 \h \* MERGEFORMAT Figure 9, the feedback control cases generally achieve better performance when compared with two passive control cases. Furthermore, the figure illustrates that although decentralized feedback control cases do not have complete sensor data available while calculating control decisions, they may outperform the centralized case due to the faster sampling frequencies that are available through decentralization. For example, compared with the centralized scheme DC4 (at 50Hz), the 0 6 ¢ Č Ź ź ģ ņ ō ö ŗ ¼ (
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SUMMARY AND CONCLUSION
This paper presents pilot studies in exploring decentralized structural control design that minimizes the closed-loop EMBED Equation.DSMT4 šn o r m . T h e d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l d e s i g n o f f e r s p r o m i s i n g s o l u t i o n s t o l a r g e - s c a l e s t r u c t u r a l s e n s i n g a n d c o n t r o l s y s t e m s . S o l u t i o n s a r e d e v e l o p e d f o r b o t h c o n t i n u o u s - t i m e a n d d i s c r e t e - t i m e f o r m u l a t i o n s . T h e p r o p e r t i e s o f l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s a r e u tilized to convert the complicated decentralized EMBED Equation.DSMT4 control problem into a simple convex optimization problem. Once proposed as a convex optimization problem, decentralized architectures are easily imposed to yield decentralized EMBED Equation.DSMT4 control solutions. Such solutions are necessary to provide control systems with the ability to scale with number of sensors and actuators implemented in the system.
(a)
(b)Figure SEQ Figure \* ARABIC 9. Simulation results for the 20-story SAC building instrumented with semi-active hydraulic dampers (SHD). The plots illustrate performance indices for passive control cases and semi-active feedback control cases with different degrees-of-centralization (DC) and sampling frequencies: (a) performance index J1; (b) performance index J2.
Numerical simulation results using a 3-story and a 20-story structure illustrate the feasibility of the different decentralized control architectures. Comparison between the performance of t h e d e c e n t r a l i z e d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šc o n t r o l l e r s a n d t h e p e r f o r m a n c e o f d e c e n t r a l i z e d L Q R - b a s e d c o n t r o l l e r s i l l u s t r a t e s t h a t t h e c o n t r o l l e r s b o t h d e l i v e r e x p e c t e d p e r f o r m a n c e . T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a l s o d e m o n s t r a t e t h a t w h e n r e a l i s t i c s e m i - a c t i v e control devices (such as the SHD dampers) are used in combination with the decentralized EMBED Equation.DSMT4 control algorithm, better performance can be gained over the passive control cases. It is also illustrated that decentralized control strategies may provide equivalent or even superior control performance, given that their centralized counterparts could suffer longer sampling periods due to communication and computation constraints.
Drawbacks of the presented decentralized EMBED Equation . D S M T 4 c o n t r o l d e s i g n i n c l u d e t h e i n a b i l i t y t o c o n s i d e r t h e e f f e c t o f t i m e d e l a y i n t h e f e e d b a c k l o o p a n d t h e r e q u i r e m e n t f o r i n t e r - s t o r y d r i f t a n d v e l o c i t y d a t a f o r f e e d b a c k . F u t u r e r e s e a r c h i n d e c e n t r a l i z e d E M B E D E q u a t i o n . D S M T 4 šc o n t r o l m a y consider time delay effects in the control algorithm and utilize system output feedback. Furthermore, dynamic output feedback will be explored instead of static feedback, to capitalize on a much larger controller parametric space. Comparative studies will then be conducted between the decentralized EMBED Equation.DSMT4 control design and the previously proposed decentralized control design which is based on LQR (linear quadratic regulator) criteria and considers time delay effects ADDIN EN.CITE Wang200721212117Wang, YangSwartz, R. AndrewLynch, Jerome P.Law, Kincho H.Lu, Kung-ChunLoh, Chin-HsiungDecentralized civil structural control using real-time wireless sensing and embedded computingSmart Structures and SystemsSmart Struct. Syst.Smart Structures and Systems321-340332007[10].
ACKNOWLEDGEMENT
This research is partially funded by the Office of Naval Research through the Young Investigator Award received by Prof. Jerome P. Lynch at the University of Michigan. Part of the research was accomplished during Prof. Yang Wangs Ph.D. study at Stanford University, where he was supported by the Office of Technology Licensing Stanford Graduate Fellowship. The authors would like to thank Prof. Chin-Hsiung Loh at the National Taiwan University for sharing the numerical model of the 3-story structure, which is based on an experimental structure built at the National Center for Research on Earthquake Engineering in Taiwan.
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[ 1 5 ] J a b b a r i F , S c h m i t e n d o r f W E a n d Y a n g J N . H " c o n t r o l f o r s e i s m i c - e x c i t e d b u i l d i n g s w i t h a c c e l e r a t i o n f e e d b a c k . J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g M e c h a n i c s 1 9 9 5 ; 1 2 1 ( 9 ) : 9 9 4 - 1 0 0 2 .
[ 1 6 ] L i n C - C , C h a n g C - C a n d C h e n H - L . O p t i m a l H " o u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m s w i t h t i m e d e l a y . J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g M e c h a n i c s 2 0 0 6 ; 1 3 2 ( 1 0 ) : 1 0 9 6 - 1 1 0 5 .
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[ 2 0 ] Y a n g J N , L i n S a n d J a b b a r i F . H "- b a s e d c o n t r o l s t r a t e g i e s f o r c i v i l e n g i n e e r i n g s t r u c t u r e s . S t r u c t u r a l C o n t r o l a n d H e a l t h M o n i t o r i n g 2 0 0 4 ; 1 1 ( 3 ) : 2 2 3 - 2 3 7 .
[ 2 1 ] W a n g S - G . R o b u s t a c t i v e c o n t r o l f o r u n c e r t a i n s t r u c t u r a l s y s t e m s w i t h a c c e l e r a t i o n s e n s o r s . J o u r n a l o f S t r u c t u r a l C o n t r o l 2 0 0 3 ; 1 0 ( 1 ) : 5 9 - 7 6 .
[ 2 2 ] B o y d S P , E l G h a o u i L , F e r o n E a n d B a l a k r i s h n a n V . L i n e a r M a t r i x I n e q u a l i t i e s i n S y s t e m a n d C o n t r o l T h e o r y . S I A M : P h i l a d e l p h i a , P A , 1 9 9 4 .
[ 2 3 ] Z h o u K , D o y l e J C a n d G l o v e r K . R o b u s t a n d O p t i m a l C o n t r o l . P r e n t i c e H a l l : E n g l e w o o d C l i f f s , N J , 1 9 9 6 .
[ 2 4 ] G a h i n e t P . L M I C o n t r o l T o o l b o x f o r U s e w i t h M A T L A B . M a t h W o r k s I n c . : N a t i c k , M A , 1 9 9 5 .
[ 2 5 ] G r a n t M a n d B o y d S . C V X : M a t l a b s o f t w a r e f o r d i s c i p l i n e d c o n v e x p r o g r a m m i n g ( w e b p a g e a n d s o f t w a r e ) . H Y P E R L I N K " h t t p : / / s t a n f o r d . e d u / ~ b o y d / c v x " h t t p : / / s t a n f o r d . e d u / ~ b o y d / c v x [ J u n e 1 8 2 0 0 8 ] .
[ 2 6 ] F r a n k l i n G F , P o w e l l J D a n d W o r k m a n M L . D i g i t a l C o n t r o l o f D y n a m i c S y s t e m s . A d d i s o n - W e s l e y : M e n l o P a r k , C A , 1 9 9 8 .
[ 2 7 ] K u r i n o H , T a g a m i J , S h i m i z u K a n d K o b o r i T . S w i t c h i n g o i l d a m p e r w i t h b u i l t - i n c o n t r o l l e r f o r s t r u c t u r a l c o n t r o l . J o u r n a l o f S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g 2 0 0 3 ; 1 2 9 ( 7 ) : 8 9 5 - 9 0 4 .
[ 2 8 ] B u r l J B . L i n e a r o p t i m a l c o n t r o l : H 2 a n d H " m e t h o d s . A d d i s o n W e s l e y L o n g m a n : M e n l o P a r k , C A , 1 9 9 9 .
[ 2 9 ] S p e n c e r B F , J r . , C h r i s t e n s o n R E a n d D y k e S J . N e x t g e n e r a t i o n b e n c h m a r k c o n t r o l p r o b l e m f o r s e i s m i c a l l y e x c i t e d b u i l d i n g s . P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d W o r l d C o n f e r e n c e o n S t r u c t u r a l C o n t r o l . K y o t o , J a p a n , J u n e 2 9 - J u l y 2 , 1 9 9 8 .
[ 3 0 ] H a t a d a T , K o b o r i T , I s h i d a M a n d N i w a N . D y n a m i c a n a l y s i s o f s t r u c t u r e s w i t h M a x w e l l m o d e l . E a r t h q u a k e E n g i n e e r i n g & S t r u c t u r a l D y n a m i c s 2 0 0 0 ; 2 9 ( 2 ) : 1 5 9 - 1 7 6 .
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MATH-CS STACKS QA402 .S48 1991 STKS 2Lunze19923336Lunze, JanFeedback Control of Large Scale SystemsPrentice-Hall international series in systems and control engineeringxiv, 344Feedback control systems.Systems engineering.1992Englewood Cliffs, NJPrentice-Hall013318353X629.8/314ENG CHECKEDOUT TJ216 .L85 1991 STKS 2 :! D Dmitry V. Balandin200563636317Dmitry V. BalandinMark M. KoganDepartment of Computational Mathematics and Cybernetics, Nizhny Novgorod State University, Gagarin ave., 23, Nizhny Novgorod 603950, Russia; Department of Mathematics, Architecture and Civil Engineering State University, Il'yinskaya str. 65, Nizhny Novgorod 603950, RussiaLMI-based optimal attenuation of multi-storey building oscillations under seismic excitationsStructural Control and Health MonitoringStruct. Control Hlth.Structural Control and Health MonitoringEarthquake Engineering and Structural DynamicsStruct. Control Hlth.213-22412220051545-2263http://dx.doi.org/10.1002/stc.60 Chase199613413413417J. Geoffrey ChaseH. Allison Smith<style face="normal" font="default" size="100%">Robust H</style><style face="subscript" font="default" size="100%">ā</style><style face="normal" font="default" size="100%"> control considering actuator saturation. I: theory</style>Journal of Engineering MechanicsJ. Engrg. Mech.Journal of Engineering Mechanics976-983122101996http://link.aip.org/link/?QEM/122/976/1 Faryar199516116116117Faryar JabbariW. E. SchmitendorfJ. N. Yang<style face="normal" font="default" size="100%">H</style><style face="subscript" font="default" size="100%">ā</style><style face="normal" font="default" size="100%"> control for seismic-excited buildings with acceleration feedback</style>Journal of Engineering MechanicsJ. Engrg. Mech.Journal of Engineering Mechanics994-100212191995http://link.aip.org/link/?QEM/121/994/1Lin200616216216217Chi-Chang LinChang-Ching ChangHuang-Lin Chen<style face="normal" font="default" size="100%">Optimal H</style><style face="subscript" font="default" size="100%">ā</style><style face="normal" font="default" size="100%"> output feedback control systems with time delay</style>Journal of Engineering MechanicsJ. Engrg. Mech.Journal of Engineering Mechanics1096-1105132102006http://link.aip.org/link/?QEM/132/1096/1Mahmoud199816316316317Magdi S. MahmoudMohamad J. TerroMohamed Abdel-RohmanDepartment of Electrical and Computer Engineering, Kuwait University, PO Box 5969, Safat-13060, Kuwait; Department of Civil Engineering, Kuwait University, PO Box 5969, Safat-13060, Kuwait<style face="normal" font="default" size="100%">An LMI approach to H</style><style face="subscript" font="default" size="100%">ā</style><style face="normal" font="default" size="100%">-control of time-delay systems for the benchmark problem</style>Earthquake Engineering & Structural DynamicsEarthq. Eng. Struct. D.Earthquake engineering & structural dynamics957-97627919981096-9845http://dx.doi.org/10.1002/(SICI)1096-9845(199809)27:9<957::AID-EQE768>3.0.CO;2-SJohnson199817317317317E. A. JohnsonP. G. VoulgarisL. A. BergmanDepartment of Aeronautical and Astronautical Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign, Urbana, IL 61801, U.S.A.Multiobjective optimal structural control of the Notre Dame building model benchmarkEarthquake Engineering & Structural DynamicsEarthq. 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