ĐĎॹá>ţ˙ ,ňôţ˙˙˙îďđń€~Zo€Ů€€  ˙ € Ü € B ţ  €sJ΀í€÷EĆt˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙ěĽÁM řż0/bjbjâ=â= ‹Â€W€W“˙˙˙˙˙˙l.......4bÜtÜtÜthDu¤čy¤b (f˜{&2ž­"ŕ­ŕ­ŕ­ŕ­nN°´ą\ˇ!š!š!š!š!š!š!$†* Ś,Ý!ý.^ąŕ­ŕ­^ą^ąÝ!Ú..ŕ­ŕ­Ú'ÚÚÚ^ą:<.ŕ­.ŕ­ˇ!Ú^ąˇ!ÚöÚĐ Ź7..ƒ!ୌ{ <ŁviˆĹbzdÜt˜í:ă ƒ!4đ'0 (ý †ş-Ňíş-ƒ!Úbb....Ů LU A. Liepas Nekltienes matemtikas skola A. Vasi<evska, L. Ramna, A. And~ns EKSTRMU UZDEVUMU RISIN`ANAS METODES R+ga, 1997 Saturs  TOC \o "1-3" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc109113085" Ievads  PAGEREF _Toc109113085 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc109113086" 1.§ Kvadrtfunkcija  PAGEREF _Toc109113086 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc109113087" Uzdevumi  PAGEREF _Toc109113087 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc109113088" 2.§ Sakar+ba starp divu skait<u vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko  PAGEREF _Toc109113088 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc109113089" Uzdevumi  PAGEREF _Toc109113089 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc109113090" 3.§ Da~as specifiskas algebriskas funkcijas  PAGEREF _Toc109113090 \h 21  HYPERLINK \l "_Toc109113091" 3.1. Funkcija EMBED Equation.3  PAGEREF _Toc109113091 \h 21  HYPERLINK \l "_Toc109113092" 3.2. Citas funkcijas  PAGEREF _Toc109113092 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc109113093" Uzdevumi  PAGEREF _Toc109113093 \h 25  HYPERLINK \l "_Toc109113094" 4. § Trigonometrisks funkcijas.  PAGEREF _Toc109113094 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc109113095" 4.1. Da~di piemri.  PAGEREF _Toc109113095 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc109113096" 4.2. Funkcija y=a(cosx+b(sinx  PAGEREF _Toc109113096 \h 30  HYPERLINK \l "_Toc109113097" 4.3. Funkcija y=acos2x+bsinx(cosx+csin2x  PAGEREF _Toc109113097 \h 31  HYPERLINK \l "_Toc109113098" Uzdevumi.  PAGEREF _Toc109113098 \h 33  HYPERLINK \l "_Toc109113099" 5.§ Ekstrmu atraaana, pamatojoties uz vispr+go neviend+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko  PAGEREF _Toc109113099 \h 34  HYPERLINK \l "_Toc109113100" Uzdevumi.  PAGEREF _Toc109113100 \h 40  HYPERLINK \l "_Toc109113101" 6.§ Treas pakpes funkcijas y=ax3+bx2+cx+d, a(0 ekstrmi  PAGEREF _Toc109113101 \h 40  HYPERLINK \l "_Toc109113102" Uzdevumi.  PAGEREF _Toc109113102 \h 43  HYPERLINK \l "_Toc109113103" 7.§ Ekstrmu uzdevumu risinaanas meto~u minimums matemtikas olimpids  PAGEREF _Toc109113103 \h 43  HYPERLINK \l "_Toc109113104" Literatkra  PAGEREF _Toc109113104 \h 50  Ievads Sav darb+b cilvks vienmr cenaas sasniegt iespjami labku rezulttu ar iespjami mazu l+dzek<u (materilo, gar+go, finansilo) patriFu. Lai netrtu laiku un ener#iju, pkloties uzlabot to, kas nav uzlabojams, svar+gi iemc+ties noteikt mksu iespju robe~as. Veidojot dabas, sabiedr+bas un tehnikas mode<us matemtisk form, mintais uzdevums k<kst par matemtisku uzdevumu - atrast funkcijas vai funkcion<a ekstrmus. Atkar+b no ptms problmas dabas un lietojam matemtisk aparta ads uzdevums var tikt attiecints uz da~dm matemtikas nozarm; ar l+dz+giem jautjumiem nodarbojas variciju r7ini, optimizcijas teorija (gan neprtraukt, gan diskrt), algoritmu sare~#+t+bas teorija utt. Ar+ skolas matemtikas kurs iespjamo lielko un mazko vrt+bu atraaanas uzdevumiem tiek velt+ta pienc+ga uzman+ba gan algebras, gan #eometrijas priekametos; tie sastopami gan pamatkursa, gan profilkursa ietvaros, matemtikas olimpids u. tml. Ievrojami ata7iras matemtiskais aparts, ko da~du skolu skolni var izmantot ekstrmu uzdevumu risinaan. Tie, kas apgkst profilkursu, var lietot spc+go matemtisks anal+zes ieroci - atvasinjumu; tiem, kas apgkst tikai pamatkursu, adas iespjas nav. `aj darb izstrdts mc+bu l+dzeklis vidusskolm, lai pal+dztu skolniem apgkt ekstrmu uzdevumu risinaanas vienkraks metodes bez matemtisks anal+zes paFmienu pielietoaanas. Atz+msim, ka iepaz+aans ar te aplkkotajm metodm lietder+ga ar+ tiem, kas apguvuai ekstrmu atraaanas paFmienu ar atvasinjumu pal+dz+bu; elementrs metodes da~reiz <auj iegkt rezulttu trk un vienkrak, k ar+ <auj labk saskat+t problmas risinjuma "virzoaos mehnismus", piemram, da~du izoperimetrisko uzdevumu risinjum. Mc+bu l+dzek<a struktkra un izveides principi. Mc+bu l+dzeklis iedal+ts 7 paragrfos. Par to saturu var spriest pc nosaukumiem satura rd+tj. Katrs no pirmajiem seaiem paragrfiem satur nepiecieaamo teortisko materilu, virkni piemru, kuros demonstrta a+ materila pielietoaana, un uzdevumus patstv+gai risinaanai. Lielais vairums piemru un uzdevumu ir ori#inli; da~i aizgkti no literatkras sarakst nord+tajiem avotiem. Materila sakrtoaan ievroti principi: a) pctec+ba; piemri izkrtoti srijs td sec+b, lai katrs nkoaais srijas piemrs sav risinjum tlk att+st+tu idejas, kas saskatmas iepriekajo piemru risinjumos, b) pakpeniskums; uzdevumu grkt+bas pakpe monotoni pieaug paragrfu ietvaros, lietojam teortisk materila grkt+bas pakpe pieaug no pirmajiem paragrfiem uz tlkajiem, c) skolas kursa integraana; vienviet aplkkoti algebras un #eometrijas uzdevumi, d) cikliskums; tma par Koa+ neviend+bas lietoaanu ekstrmu uzdevumos aplkkota divreiz - vienkrak variant 2.§ un att+st+tk pakp 5.§. Darb iek<autais materils prbaud+ts vairku gadu laik R+gas Valsts 1. #imnzij, sagatavoaanas kursos un nodarb+bs ar matemtikas olimpi~u dal+bniekiem. 1.§ Kvadrtfunkcija Teorma. Kvadrtfunkcija y=ax2+bx+c (a(0) sasniedz savu 1) mazko vrt+bu , ja EMBED Equation.3 un a>0 2) lielko vrt+bu , ja EMBED Equation.3 un a<0 Pierd+jums. Atdal+sim pilno kvadrtu. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Redzam, ka y sastv no diviem saskaitmajiem, kur otrais nav atkar+gs no x. 1. Ja a>0, tad pirmais saskaitmais EMBED Equation.3 ir tikai nenegat+vs un t mazk vrt+ba ir 0, ja EMBED Equation.3, t.i., EMBED Equation.3. Td gad+jum y mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3 un lielk vrt+ba neeksist. 2. Ja a<0, tad pirmais saskaitmais ir negat+vs vai 0 un t lielk vrt+ba ir 0, ja EMBED Equation.3, t.i., EMBED Equation.3. Ttad y lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3 un mazk vrt+ba neeksist. 1. Piemrs. Noteikt kvadrttrinoma x2-8x+9 mazko vrt+bu. x2-8x+9=(x2-8x+16)-16+9=(x-4)2-7 Izteiksmes mazk vrt+ba ir -7, ja x=4. 2. Piemrs. Noteikt kvadrttrinoma -x2-12x+4 lielko vrt+bu. -x2-12x+4=-(x2+12x-4)=-(x2+12x+36-36-4)=-((x+6)2-40)= = - (x+6)2+40 Izteiksmes lielk vrt+ba ir 40, ja x=-6. 3. Piemrs. Apr7int funkcijas y=3x2+6x+7 mazko vrt+bu. y=3x2+6x+7=3(x2+2x+EMBED Equation.3)=3(x2+2x+1-1+EMBED Equation.3)=3((x+1)2+EMBED Equation.3)= =3(x+1)2+4 Funkcijas mazk vrt+ba ir 4, ja x=-1. 4. Piemrs. Noteikt, pie kdm x vrt+bm polinoma P4(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) vrt+ba ir vismazk. Apr7int to. P4(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x)(x2+3x+2)=t(t+2)=t2+2t+1-1= =(t+1)2-1 , kur x2+3x=t. Funkcijas mazk vrt+ba ir -1, ja t=-1. Noskaidrosim, kdas x vrt+bas atbilst t vrt+bai -1: x2+3x=-1 x2+3x+1=0 EMBED Equation.3 5. Piemrs. Noteikt to x vrt+bu, pie kuras funkcija y=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2 (a;b;c - reli skait<i) sasniedz savu mazko vrt+bu. y=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2=x2-2ax+a2+x2-2bx+b2+x2-2cx+c2= =3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2. 3>0, tpc kvadrtfunkcijai ir mazk vrt+ba, ja EMBED Equation.3, kas aaj gad+jum ir EMBED Equation.3. 6. Piemrs. Apr7int kvadrttrinoma ax2+bx+c koeficientus, zinot, ka t vrt+ba ir 0, ja x=-1, un vislielko vrt+bu 3 tas sasniedz, ja x=1. Ja x=-1, tad a-b+c=0 (1) Kvadrttrinoma EMBED Equation.3 lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3 b=-2a (2) Ttad EMBED Equation.3EMBED Equation.3 c-a=3 c=3+a (3) Lai iegktu a skaitlisko vrt+bu, (2) un (3) ievieto (1). a+2a+3+a=0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3; EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Iegkstam kvadrttrinomu EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. 7. Piemrs. Noteikt kvadrttrinoma ax2+bx+c koeficientus, ja pie x=0 t vrt+ba ir 7 un t lielk vrt+ba ir 19, ja x=2. Ja x=0, tad a(0+b(0+c=c=7 (1) Kvadrttrinoma EMBED Equation.3 lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3 (2) , ja EMBED Equation.3 b=-4a (3) (1) un (3) sakar+bu ievieto (2) un apr7ina a vrt+bu EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Iegkstam kvadrttrinomu ax2+bx+c=-3x2+12x+7. 8. Piemrs. Apr7int kvadrttrinoma ax2+bx+c koeficientus, ja zinms, ka t mazk vrt+ba ir -16, ja x=-1, un t sakFu 1) kvadrtu summa ir 34 2) kubu summa ir -98. Kvadrttrinoma EMBED Equation.3 mazk vrt+ba EMBED Equation.3 (1) , EMBED Equation.3, ttad b=2a (2) Izmantojot Vjeta teormu EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3 1) EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 pc dot EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 c=-15a (3) (2) un (3) sakar+bas ievieto (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 a=1 tad b=2a=2; c=-15a=-15 Kvadrttrinoms ax2+bx+c=x2+2x-15. 2) x13+y23=(x1+x2)(x12-x1x2+x21)=(x1+x2)((x1+x2)2-3x1x2)= EMBED Equation.3EMBED Equation.3 pc dot EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 c=-15a un pabeidz k 1) gad+jum. 9. Piemrs. Kdm a vrt+bm viendojuma x2-ax+a-2=0 sakFu kvadrtu summa ir vismazk? Pc Vjeta t. x1+x2=a un x1x2=a-2 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2(a-2)=a2-2a+4=a2-2a+1+3=(a-1)2+3 Izteiksmes mazk vrt+ba ir 3, ja a=1. 10. Piemrs. Doto skaitli 70 uzrakst+t k divu saskaitmo summu t, lai to reizinjums bktu vislielkais. PieFemam, ka x ir viens saskaitmais, tad otrs ir 70-x. Abu saskaitmo reizinjums x(70-x)=-x2+70x=-(x2-70x)=-(x2-2.35x+352-352)=-(x-35)2+352 Abu saskaitmo reizinjums bks vislielkais 352, ja x-35=0, x=35 un 70-x=35. Ttad reizinjums bks vislielkais, ja abi saskaitmie ir viendi. 11. Piemrs. Doti skait<i p un q; p+2q=1. Noteikt 1) p2+q2 mazko vrt+bu, 2) pq lielko vrt+bu. Izsakm p=1-2q. 1) EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Izteiksmes mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3 , ja EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. 2) EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Reizinjuma lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. 12. Piemrs. Noteikt funkcijas y=x4+3x2+2 vismazko un vislielko vrt+bu, ja -2( x (3. EMBED Equation.3 Funkcijas mazk vrt+ba ir atkar+ga no t, cik liels ir pirmais saskaitmais: EMBED Equation.3EMBED Equation.3 (jo x(0) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 `o vrt+bu funkcija sasniedz pie x4+3x2+2=2 EMBED Equation.3 x2(x2+3)=0 EMBED Equation.3 x=0; x2=-3 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  Ievrosim, ka dot funkcija ir pra: y(-x)=(-x)4+3(-x)2+2= =x4+3x2+2=y(x), ttad ts grafiks ir simetrisks pret Oy asi. Funkcijas lielk vrt+ba bks punkt x=3 : y(3)=110. 13. Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 apz+m EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Funkcijas miniml vrt+ba ir EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3EMBED Equation.3 , x-1=-2 , x=-1, kas pieder D.A. 14. Piemrs. Atrast funkcijas EMBED Equation.3, ja -1( x ( 1, vislielko un vismazko vrt+bu. EMBED Equation.3 1) saucjs ir vismazkais: EMBED Equation.3 , ja EMBED Equation.3, tpc da<as vrt+ba (apgrieztais lielums) ir vislielk: EMBED Equation.3. 2) t k saucjs ir kvadrtfunkcija, kuras virsotnes abscisa EMBED Equation.3, tad ts grafiks ir simetrisks pret ao taisni un saucjam bks lielk vrt+ba intervla [-1;1] galapunkt x=1. Tpc apgrieztais lielums bks mazkais: EMBED Equation.3 15. Piemrs. Noteikt funkcijas y=4x-3x2 lielko un mazko vrt+bu intervl [1;2]. EMBED Equation.3 Kvadrtfunkcija sasniedz savu maksimumu EMBED Equation.3 punkt EMBED Equation.3, bet EMBED Equation.3. T k intervl EMBED Equation.3 funkcija ir dilstoaa, tad savu lielko vrt+bu t sasniedz intervla galapunkt x=1, tad y=4-3=1, un mazko vrt+bu - intervla galapunkt x=2, tad y=8-12=-4. 16. Piemrs. Kds ir lielkais laukums taisnstkrim, kura tr+s malu summa ir 200m? Taisnstkra malas apz+mjam ar x un y.  Pc dot 2x+y=200, tad y=200-2x un laukums taisnstkrim S=xy=x(200-2x)=-2x2+200x=-2(x2-100x+2500-2500)= =-2(x-50)2+5000 Vislielk laukuma vrt+ba ir 5000m2, ja x=50m un y=100m. 17. Piemrs. PusriF7+ ievilkts taisnstkris t, ka viena mala atrodas uz diametra. Noteikt t taisnstkra izmrus, kura laukums ir maksimlais.  RiF7a rdiusu apz+m ar r=OC; OD=x, tad AD=2x. Apskatot (OCD redzam, ka EMBED Equation.3. Tad taisnstkra laukums S=2xEMBED Equation.3. S sasniedz savu maksimlo vrt+bu, kad to sasniedz S2. Tpc S2=4x2(r2-x2)=4x2r2-4x4=-(4x4-4r2x2+r4-r4)=-(2x2-r2)+r4 Laukums ir maksimlais r2, ja 2x2=r2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3; EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. 18. Piemrs. Dots regulrs trijstkris ar malu a. Kds ir lielkais laukums taisnstkrim, kura ievilkts trijstkr+ t, ka visas taisnstkra virsotnes atrodas uz trijstkra malm?  Taisnstkra malu garumus apz+m ar x un y. (CGH: EMBED Equation.3 , tad EMBED Equation.3 Taisnstkra laukums EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Lielk laukuma vrt+ba ir EMBED Equation.3, ja malu garumi ir EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. 19. Piemrs. Kvadrtveida finiera plksn ar malas garumu 10 cm izgrieza taisnstkrveida caurumu, kura diagonle ir 5 cm. Cauruma malm piestiprinja stiepl+ti, kuras 1cm sver 7 gramus. Finiera 1 cm2 svars ir 2 grami. Kdiem jbkt cauruma izmriem, lai atlikuas plksnes svars bktu maksimlais? Izgriezt taisnstkra malu garumus apz+mjam ar x un y; tad no (ABC x2+y2=25 (1)  Plksnes svars ir Q=100(2-2xy+7(2(x+y)=200-2xy+14(x+y) Sakar+bas (1) kreisaj pus atdalm pilno kvadrtu (x+y)2-2xy=25 un izsakm 2xy=(x+y)2-25 Q=200-(x+y)2+25+14(x+y)=-(x+y)2+14(x+y)+225 Esam ieguvuai kvadrtfunkciju x+y=a Q=-a2+14a+225 `+ funkcija sasniedz savu maksimumu, ja a=-14:(-2)=7 Iegkstam viendojumu sistmu EMBED Equation.3 Ttad maksimlais svars bks plksnei, kur izgriezt cauruma izmri ir 3 un 4 cm. 20. Piemrs. Plakn doti 3 punkti A; B; C, kuri neatrodas uz vienas taisnes . Noteikt uz taisnes BC punktu K, lai attlumu kvadrtu summa no K l+dz A; B un C bktu vismazk.  Novelkam AD ( BC un apz+mjam: AD=a, DB=b, DC=c, K ( patva<+gais punkts. Ttad jnosaka funkcijas y= AK2+BK2+CK2 mazk vrt+ba. Apz+mjam KD=x, tad y=(a2+x2)+(b(x)2+(c+x)2= =3x2(2(b(c)x+a2+b2+c2 Prveidojam kvadrtfunkciju EMBED Equation.3. Ttad funkcija savu mazko vrt+bu EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3. 21. Piemrs. Pa taisna leF7a malm kustas 2 7ermeFi ar noteiktiem trumiem v1 un v2 m/s virzien uz leF7a virsotni. Skot kust+bu, pirmais 7ermenis atrodas attlum a, otrais 7ermenis ( attlum b no leF7a virsotnes. Pc cik sekundm no kust+bas skuma br+~a attlums starp 7ermeFiem bks vismazkais?  AO=a, OB=b. PieFemsim, ka pc x sekundm attlums starp abiem 7ermeFiem bks vismazkais. x sekunds pirmais 7ermenis ir nobraucis attlumu AC=v1x, otrais ( BD=v2x. Tad 7ermeFu attlumi l+dz leF7a virsotnei ir OC= a(v1x un OD=b(v2x. Attlums starp abiem 7ermeFiem EMBED Equation.3. Tas bks mazkais, ja CD2 bks vismazkais. Tpc aplkkosim funkciju y=(a-v1x)2+(b-v2x)2=(v12+v22)x2-(2av1+2bv2)x+a2+b2= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 T k v12+v22>0, tad attlums starp 7ermeFiem ir vismazkais pc EMBED Equation.3 sekundm un viends ar EMBED Equation.3. 22. Piemrs. No ba<7a, kura rdiuss ir R, jizgatavo taisnstkra parallskaldnis t, lai materila zudumi bktu pc iespjas mazki.  T k ba<7a garums ir nemain+gs, tad ir jnoskaidro, kdi ir pamata riF7a l+nij ievilkt taisnstkra izmri, lai t laukums bktu maksimlais. Apz+m riFka l+nijas rdiusu ar R, taisnstkra izmrus ar x un y. Taisnstkra ABCD laukums S=xy; izsakot no (ACD, EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3 S2=x2(4R2-x2)=-x2+4x2R2=-(x2-2R2)2+4R4 S sasniedz lielko vrt+bu tad, ja S2 ir lielk vrt+ba, bet S2 lielk vrt+ba ir 2R2, ja x2=2R2; t.i:, EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. Ttad, lai materila zudumi bktu vismazkie, pamat jievelk kvadrts. 23. Piemrs. Jizgatavo taisnstkra parallskaldFa formas kaste, kuras pamata laukums ir 1. Visu a7autFu garumu summa ir 20. Kdiem jbkt kastes izmriem, lai ts pilnas virsmas laukums bktu vislielkais?  Apz+mjam ata7ir+go a7autFu garumus ar x, y, z. Pc dot 4x+4y+4z=20, tad x+y+z=5 (1) un pamata laukums xy=1. Apr7inm laukumu pilnai virsmai: S=2+2xz+2yz=2+2z(x+y)=2+2(x+y)(5-(xty))=-(x+y)2+10(x+y)+2 Ir iegkta kvadrtfunkcija; ja x+y=a, tad S=-2a2+10a+2. Tai eksist maksimums, ja EMBED Equation.3 jeb EMBED Equation.3. Iegkstam viendojumu sistmu EMBED Equation.3 un tlk EMBED Equation.3 vai EMBED Equation.3. Apr7inm EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Vislielkais pilnas virsmas laukums ir EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Uzdevumi 1. Noteikt kvadrttrinoma lielko vai mazko vrt+bu:  2. Apr7int polinoma P(x)=(x+3)(x+4)(x+5)(x+6) mazko vrt+bu. 3. Noteikt ts x vrt+bas, pie kurm dot funkcija sasniedz savu lielko vai mazko vrt+bu: 1) y=(x(3)2+(x(7)2 2) y=(x(2a)2+(x+3b)2 3) y=((4t(x)2((x(t)2 4. Noteikt kvadrttrinoma ax2+bx+c koeficientus, ja t vrt+ba ir 0, ja x=8, un vismazk vrt+ba ir (12, ja x=6. 5. Apr7int kvadrttrinoma ax2+bx+c koeficientus, ja t mazk vrt+ba ir 7 pie x=(2 un, ja x=0, tad kvadrttrinoma vrt+ba ir 15. 6. Dota funkcija f(x)= ax2+bx+c. Noteikt koeficientus a, b un c, ja zinms, ka punkt x=(2 tai ir minimums (9, bet ja x=1, tad funkcijas vrt+ba ir 0. 7. Noteikt kvadrttrinoma ax2+bx+c koeficientus, ja zinms, ka t lielk vrt+ba ir 25, ja x=EMBED Equation.3, un t sakFu kubu summa ir 19. 8. Kdm a vrt+bm viendojuma 1) x2+(2(a)x(a(3=0 2) x2+(a(4)x(a(1=0 3) (x2+(a(6)x+a=0 sakFu kvadrtu summa ir vismazk? 9. Doti reli skait<i a; b; c; d; a2+c2(0. Pie kdas x vrt+bas funkcijai y=(ax+b)2+(cx+d)2 ir vismazk vrt+ba? Noteikt to! 10. Taisnstkra tr+s malu garumu summa ir a. Apr7int, pie kdiem taisnstkra malu garumiem t laukums ir maksimlais. 11. Noteikt vislielko un vismazko vrt+bu funkcijai 1) y=x4+5x2+4, ja x EMBED Equation.3  [(2; 1] 2) EMBED Equation.3. 12. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. 13. TaisnleF7a trijstkr+, kura aaurais leF7is ir 600 un hipotenkza 16 cm, ievilkts taisnstkris, kura viena mala atrodas uz hipotenkzas. Kdiem jbkt taisnstkra izmriem, lai t laukums bktu maksimlais? 14. K ar stu, kuras garums ir 1, var ierobe~ot maksimlo laukumu, kura atrodas taisna jkras krasta mal, ja stas forma ir 1) taisnstkris, 2) trijstkris? 15. Figkra sastv no taisnstkra un viendmalu trijstkra, kura k uz pamata konstruts uz taisnstkra malas. Kds ir lielkais iespjamais a+s figkras laukums, ja ts perimetrs ir P? 16. Noteikt summas 2x2+3y2 lielko un mazko vrt+bu, ja x+y=2, x ( 0; y ( 0. 17. Regulras trijstkra piram+das visa a7autFu garumu kvadrtu summa ir a. Kds ir maksimlais snu virsmas laukums? 18. Paralelograma diagon<u garumu summa ir 16 cm. Apr7int vismazko iespjamo paralelograma malu garumu kvadrtu summu. 19. Pozit+vu skait<u x un y summa ir 12. Apr7int, kdu mazko vrt+bu var pieFemt izteiksme 1) EMBED Equation.3 2) x2+y2. 20. Konus ar pamata rdiusu R un augstumu H ievilkts cilindrs. Apr7int t cilindra augstumu un pamata rdiusu, kura snu virsmas laukums ir vislielkais. 21. No visiem trijstkriem, kuru platais leF7is ir 1500 un malu, kuras veido ao leF7i, ir 16, noteikt to, kuram ir vislielkais laukums. 2.§ Sakar+ba starp divu skait<u vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko Teorma. Ja x un y ir nenegat+vi skait<i, tad EMBED Equation.3. Prveidojam neviend+bu EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. Viend+ba ir spk tikai tad, ja x=y. Bie~i ao neviend+bu lieto form EMBED Equation.3. Neviend+bu var izmantot ar+ funkcijas EMBED Equation.3, ja a>0 un x>0, pt+aanai. Teorma. Funkcijas EMBED Equation.3, kur a>0 un x>0, vismazk vrt+ba ir EMBED Equation.3, kuru t iegkst, ja EMBED Equation.3. To pierda, izmantojot sakar+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko: EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3- izteiksmes mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3. Noskaidrosim, pie kdas x vrt+bas to iegkst: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Ac+mredzot EMBED Equation.3 un kvadrta mazk vrt+ba ir pie EMBED Equation.3, t.i., ja EMBED Equation.3. Gad+jum, ja x<0, tad izmanto, ka dot funkcija ir nepra, t.i., EMBED Equation.3 un ts grafiks ir simetrisks pret (0;0). Tpc simetriskaj punkt EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 funkcijai ir lielk vrt+ba. Aplkkosim piemrus. 1. Piemrs. Noteikt funkcijas y=x+EMBED Equation.3, ja x>0, mazko vrt+bu. EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Mazk vrt+ba ir 8. 2. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3, ja x>3, mazko vrt+bu. Labaj pus pieskaita un atFem 3: EMBED Equation.3. Pirmo divu saskaitmo summas mazk vrt+ba: EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Mazk vrt+ba ir 8, ja x-3=4. Tpc y(8+3=11. 3. Piemrs. Pie kdas x vrt+bas izteiksmes EMBED Equation.3 vrt+ba ir mazk? Noteiksim izteiksmes mazko vrt+bu: EMBED Equation.3EMBED Equation.3. T ir 4. Mazko vrt+bu izteiksme iegkst, ja lgx=2 jeb x=100. 4. Piemrs. Apr7int izteiksmes EMBED Equation.3, ja x>0, mazko vrt+bu. EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Ievrosim, ka EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Izteiksmes mazk vrt+ba ir 9. 5. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3EMBED Equation.3 ekstrmus. Ac+mredzot jbkt x(0. Ja x>0, tad EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Funkcijas miniml vrt+ba ir 2. Noteiksim, kdai x vrt+bai t atbilst: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. Viend+ba ir spka, ja x=7 Funkcijai minimums ir punkt (7,2). Ja x<0, ievrosim, ka funkcija ir nepra, t.i. EMBED Equation.3, ts grafiks ir simetrisks pret koordintu asu krustpunktu, un punkt (-7,-2) ir maksimums. 6. Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3, ja x>0, mazko vrt+bu. EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Pirmais saskaitmais (x-3)2(0, t mazk vrt+ba ir pie x-3=0, x=3; otrais saskaitmais EMBED Equation.3, t mazk vrt+ba ir 6, ja x=3. Tpc (*)(0+6+1=7. Funkcijas mazk vrt+ba ir 7, ja x=3. Aplkkosim piemrus (7., 8.), kuros, lai vieglk vartu noteikt ekstrmus, izpta nevis paau funkciju y, bet tai apgriezto EMBED Equation.3. 7. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3, ja x>0, maksimumu. Aplkkojam apgriezto funkciju EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Tai mazk vrt+ba ir 6, ja x=3. Ttad dotajai funkcijai aaj punkt x=3 ir maksimums EMBED Equation.3. 8. Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 , kur a, b, c ir pozit+vi skait<i, lielko vrt+bu, ja zinms, ka t eksist. Apskatm EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Nosakm pirmo divu saskaitmo summas mazko vrt+bu EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - esam ieguvuai EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. Ttad dots funkcijas lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 9. Piemrs. Pie kdas x vrt+bas funkcija EMBED Equation.3 sasniedz mazko vrt+bu? EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Tieam, t k EMBED Equation.3, tad EMBED Equation.3EMBED Equation.3; mazk vrt+ba ir 4, kuru iegkst, ja EMBED Equation.3 EMBED Equation.3; 2x+1=0; EMBED Equation.3. 10. Piemrs. Juzbkv sta ap taisnstkrveida sporta laukumu, kura plat+ba ir 0,9 ha; divas paralls malas ar koka ~ogu, otras divas ar stiep<u ~ogu. Viena metra koka ~oga izmaksa ir 5 Ls, stiep<u ~oga - 2 Ls. Stas celtniec+bai iedal+ti 1200 Ls. Vai ar ao naudas summu pietiek, lai uzbkvtu stu, un kdiem jbkt laukuma izmriem? 0,9 ha=9000 m2. Laukuma malas apz+mjam ar x un y. Tad S=xy=9000 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. }oga izmaksa EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Mazk naudas summa, kura nepiecieaama, ir 1200 Ls. Ar ao naudas summu pietiek, lai uzbkvtu stu. Noteiksim, kdiem jbkt laukuma izmriem. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Viend+ba ir spk, ja x=150m un y=60m. Ttad +skajm malm jbkv stiep<u, bet garkajm - koka ~ogs. 11. Piemrs. RiF7a sektora perimetrs,ir p. Kdam jbkt a+ sektora centra leF7im, lai sektora laukums bktu vislielkais? Sektora perimetrs p=2R+l=2R+R(, kur ( ir centra leF7is radinos.  p=R(2+() EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Laukums sektoram S=R2(EMBED Equation.3EMBED Equation.3, kur EMBED Equation.3 - konstante. Tpc pt+sim funkciju EMBED Equation.3. `oreiz ir rti aplkkot apgriezto funkciju EMBED Equation.3. Pirmajiem diviem saskaitmajiem pielietojam sakar+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko: EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Funkcijai EMBED Equation.3 mazk vrt+ba ir 8, tpc funkcijai y lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3 pie (=2 (radini). 12. Piemrs. Dotas divas parallas taisnes a un b, attlums starp tm R. Novilkts pusriF7is, kura diametrs atrodas uz a; tas pieskaras taisnei b. Noteikt viendsnu trapeces ABCD pamatus (tie atrodas uz a un b, snu malas pieskaras pusriF7im), t, lai trapeces laukums bktu vismazkais.  E un G - punkti, kuros pusriF7is pieskaras trapeces snu malm. 1) Apz+mjam BF=x; AE=y BC un BA ir no B vilktas pieskares riF7a l+nijai, tpc BF=BE=x 2) Novelk BO  EMBED Equation.3 FBO= EMBED Equation.3 BOA (iekajie a7rsleF7i)  EMBED Equation.3 ABO= EMBED Equation.3 FBO (BO ir  EMBED Equation.3 B bisektrise). No aejienes seko, ka  EMBED Equation.3 ABO= EMBED Equation.3 BOA. Ttad (ABO ir viendsnu, t.i., AB=AO=x+y 3) EMBED Equation.3 (1) 4) Ievrosim, ka AB ir pieskare; AN - sekante, ttad AE2=AM(AN=(AO-OM)(AO+ON) y2=(x+y-R)(x+y+R)=(x+y)2-R2 y2=x2+2xy+y2-R2, tad EMBED Equation.3 (2) (2) ievieto (1) un iegkst EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 T k x>0, tad EMBED Equation.3 Laukuma mazk vrt+ba EMBED Equation.3, kuru iegkst, ja EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. Tad EMBED Equation.3 un trapeces pamati EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. 13. Piemrs. Jizgatavo taisnstkra parallskaldFa formas kast+te, lai ts pamata laukums bktu 2 dm2, bet snu virsmas laukums 18 dm2. Kdiem jbkt kast+tes izmriem, lai visu a7autFu garumu summa bktu minimla?  Ata7ir+gs a7autnes apz+mjam ar x,y,z. Tad pc dot xy=2 un 2xz+2yz=18 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. Visu a7autFu garumu summa ir EMBED Equation.3 Novrtjam EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Ttad a7autFu garumu summas miniml vrt+ba ir 24, kuru t sasniedz, ja x+y=3. Esam ieguvuai viendojumu sistmu EMBED Equation.3, kuras atrisinjumi ir (2;1) vai (1;2). Tad z=3. Taisnstkra parallskaldFa izmri ir 1;2;3 dm. 14. Piemrs. Taisnas prizmas pamats ir taisnleF7a trijstkris ar 2m2 lielu laukumu, bet prizmas augstums ir viends ar pamata hipotenkzas garumu. Kdiem jbkt pamata malu garumiem, lai prizmas snu virsmas laukums bktu mazkais?  Pamata trijstkra malu garumi ir a; b; c; pc dot ar+ prizmas augstums ir c. pamata laukums EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1) pc Pitagora teormas a2+b2=c2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2) Nosakm snu virsmas laukumu un t mazko vrt+bu. EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Laukuma vrt+ba bks mazk, ja mazko vrt+bu iegks izteiksme EMBED Equation.3+b. Ts mazk vrt+ba EMBED Equation.3 ir 4, ja b=2. EMBED Equation.3 (m2) Pamata izmri b=2, a=2 un EMBED Equation.3. 15. Piemrs. Taisnas prizmas pamats ir taisnleF7a trijstkris ar 50 cm garu hipotenkzu. Prizmas snu virsmas laukums ir 0,96 m2. Cik garm jbkt pamata trijstkra katetm, lai prizmas visu a7autFu garumu summa bktu mazk? Trijstkra malu garumus apz+mjam ar a;b;c, prizmas augstumu ar Pc dot c=50 cm. Snu virsmas laukums EMBED Equation.3. EMBED Equation.3 Ievrosim, ka EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Visu a7autFu garumu summa ir mazk: EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Ttad esam ieguvuai viendojumu sistmu EMBED Equation.3, kuras atrisinjums ir EMBED Equation.3 vai EMBED Equation.3. Trijstkra katetes ir 30 cm un 40 cm garas. Uzdevumi 1. Noteikt funkcijas 1) EMBED Equation.3, ja x>0, mazko vrt+bu; 2) EMBED Equation.3, ja a>0, x>0, mazko vrt+bu. 2. Noteikt mazko vrt+bu funkcijm 1) EMBED Equation.3, ja x>2, 2) EMBED Equation.3, ja x>1, 3) EMBED Equation.3. 3. Apr7int mazko vrt+bu funkcijai EMBED Equation.3 intelvl [4;5]. 4. Pie kdas x vrt+bas izteiksmes EMBED Equation.3 vrt+ba ir mazk iespjam? 5. Apr7int izteiksmes EMBED Equation.3, ja x>0, mazko vrt+bu. 6. Pie kdas x vrt+bas da<as EMBED Equation.3 vrt+ba ir miniml? 7. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3 ekstrmus. 8. Noskaidrot, pie kdas x>0 vrt+bas funkcijai EMBED Equation.3 ir vismazk vrt+ba. 9. Noteikt ekstrmus funkcijm 1) EMBED Equation.3, ja x>0 2) EMBED Equation.3 3) EMBED Equation.3, ja x>0. 10. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3, ja x>-1, mazko vrt+bu. 11. RiF7a sektora laukums ir S. Kdam jbkt centra leF7im, lai sektora perimetrs bktu vismazkais? 12. No gran+ta jizka< taisnstkra parallskaldnis, kura augstumam jbkt viendam ar pamata diagonli, bet pamata laukumam - 4m2. Kdiem jbkt a7autFu garumiem, lai parallskaldFa pilnas virsmas laukums bktu mazkais? 3.§ Da~as specifiskas algebriskas funkcijas 3.1. Funkcija EMBED Equation.3 Lai noteiktu ada veida funkcijas ekstrmus, pal+dz prasme noteikt funkcijas vrt+bu apgabalu. Doto funkcijas viendojumu prveidosim par kvadrtviendojumu attiec+b pret x: (a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+(c2y-c1)=0 Lai aim viendojumam eksisttu relas saknes, jbkt D(0. 1. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3 ekstrmus. Jbkt x2-3x+3(0, T k D<0, tad der visi x  EMBED Equation.3  R. Prveidosim funkcijas viendojumu par kvadrtviendojumu pret x: yx2-3yx+3y=x-1; yx2(3y+1)x+(3y+1)=0 Lai aim viendojumam bktu atrisinjumi, jbkt D(0: D=(3y+1)2-4y(3y+1)=-3y2+2y+1(0  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 Esam apr7injuai funkcijas vrt+bu apgabalu, tpc EMBED Equation.3un ymax=1. Noteiksim, kdm x vrt+bm atbilst a+s y vrt+bas: 1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 x2-3x+3=-3x+3 x2=0 x=0 2) ymax=1 EMBED Equation.3 x2-3x+3=x-1 x2-4x+4=0 x=2 Funkcija sasniedz minimumu punkt EMBED Equation.3, bet maksimumu punkt (2;1). 2. Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. D.A.: x2+2x+1(0  EMBED Equation.3  x(-1 R+kojoties k ieprieka, yx2+2yx+y=x2+x+1 (y-1)x2-(1-2y)x+y-1=0 Viendojumam bks atrisinjumi, ja D(0: D=(1+2y)2-4(y-1)2=4y-3(0  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3. Miniml y vrt+ba ir EMBED Equation.3. Apr7inm x vrt+bu: EMBED Equation.3EMBED Equation.3 x2-2x+1=0 x=1 Funkcijas mazk vrt+ba EMBED Equation.3, ja x=1. 3. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3 ekstrmus. D.A. x2-x+3(0 , D<0, x EMBED Equation.3 R Iegkstam kvadrtviendojumu attiec+b pret x : yx2-yx+3y=x2-x (y-1)x2+(1-y)x+3y=0 D=(1-y)2-12y(y-1)=-11y2+10y+1 D(0  EMBED Equation.3  -11y2+10y+1(0 Iegkstam funkcijas vrt+bu apgabalu EMBED Equation.3 kur EMBED Equation.3 un ymax=1 Noteiksim atbilstoas x vrt+bas:  Funkcijai maksimuma nav un minimums ir punkt EMBED Equation.3. 3.2. Citas funkcijas 4. Piemrs. Apr7int funkcijas y=c-3 mazko vrt+bu. D.A.: x(5 Ievrosim, ka aritmtisk kvadrtsakne ir nenegat+vs lielums EMBED Equation.3(0, ts mazk vrt+ba ir 0, td< visas funkcijas mazk vrt+ba ir y=0-3=-3, ja x=5. 5. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3 lielko vrt+bu. D.A.: 4+x2>0  EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 R Izteiksmes EMBED Equation.3 mazk vrt+ba ir 2, ja x=0, tpc apgrieztajam lielumam EMBED Equation.3 lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3, ja x=0. 6. Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 lielko un mazko vrt+bu. D.A.: 9-x2(0  EMBED Equation.3  -3( x (3 EMBED Equation.3 lielk vrt+ba ir 3, ja x=0; ttad funkcijas y lielk vrt+ba ir y=3+5(3=18 EMBED Equation.3 mazk vrt+ba ir 0, ja x=ą3; ttad funkcijas y mazk vrt+ba y=3+5(0=3. 7. Piemrs. Apr7int funkcijas y=a|x+1|+b lielko vrt+bu, ja ts grafiks iet caur punktiem A(2;0) un B(-2;2). Punkti A un B pieder grafikam, ttad EMBED Equation.3 no kurienes a=-1 un b=3. Ttad y=-|x+1|+3. T k |x+1|(0, tad -|x+1|(0 un funkcijas lielk vrt+ba ir 3, ja x=-1. 8. Piemrs. Apr7int funkcijas z=y-2x lielko un mazko vrt+bu, ja 36x2+16y2=9. y=z+2x EMBED Equation.3 36x2+16(z+2x)2=9 36x2+16(z2+4xz+4x2)-9=0 100x2+64xz+16z2-9=0 Esam ieguvuai kvadrtviendojumu pret x; tam bks atrisinjums, ja D(0. D=(64z)2-4(100(16z2-9)=16(9(25-16z2)(0 Atrisinot neviend+bu 25-16z2(0, iegkstam, ka iespjams z vrt+bas ir EMBED Equation.3EMBED Equation.3, ttad mazk z vrt+ba ir -EMBED Equation.3, lielk EMBED Equation.3. Apr7insim, kdas ir atbilstoas x un y vrt+bas: EMBED Equation.3 ja EMBED Equation.3, tad EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3 ja EMBED Equation.3, tad EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3 9. Piemrs. Skait<i x, y un z ir tdi, ka x2+3y2+z2=2. Kda ir lielk iespjam izteiksmes 2x+y-z vrt+ba? Apz+mjam 2x+y-z=a un izsakm z=2x+y-a. Tad x2+3y2+(2x+y-a)2=2; viendojumu prveidojam par kvadrtviendojumu pret y: 4y2+2(2x-a)y+5x2+a2-4ax-2=0 Lai bktu atrisinjumi, tad jbkt D(0: D=4(2x-a)2-16(5x2+a2-4ax-2)=4(-16x2+12ax-3a2+8)(0 Ttad 16x2-12ax+3a2-8(0. Lai aai neviend+bai eksisttu atrisinjums, jbkt D(0: D=144a2-64(3a2-8)=-48a2+512(0 -12a2+128(0 EMBED Equation.3 Ttad izteiksmes a=2x+y-z lielk iespjam vrt+ba ir EMBED Equation.3. 10. Piemrs. Kds ir mazkais tilpums konusam, kuru var apvilkt ap lodi ar rdiusu R?  Apz+mjam DC=r; BD=h. (DBC ~(EBO (ll). Tpc EMBED Equation.3. Apr7inm BE EMBED Equation.3 (DBC, EMBED Equation.3 DC=EC=r EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Kpinm kvadrt un izsakm r2: h2R2+2Rhr2+r4=r2(h2+r2) h2R2=r2h2(2Rhr2 EMBED Equation.3 Konusa tilpums EMBED Equation.3. T k EMBED Equation.3 ir konstante, tad aplkkojam funkciju EMBED Equation.3. Prveidosim to par kvadrtfunkciju pret h: R2h2(yh+2Ry=0. Jbkt D=y2(8R3y(0. Iegkstam y(0 (neder) vai y(8R3. Miniml funkcijas vrt+ba y=8R3. Noteiksim, pie kda h tas izpilds: EMBED Equation.3, h2(8Rh+16R2=0, h=4R. Ttad mazkais iespjamais konusa tilpums ir EMBED Equation.3. Uzdevumi 1. Noteikt funkcijas 1) EMBED Equation.3, 2) EMBED Equation.3 ekstrmus. 2. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 vrt+bu apgabalu un ts maksimumu. 3. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. 4. Atrast izteiksmes EMBED Equation.3 mazko vrt+bu, ja x >0. 5. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu, ja 0< x <1. 6. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 lielko vrt+bu, EMBED Equation.3 lielko un mazko vrt+bu, EMBED Equation.3EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. 7. Noteikt mazko no x vrt+bm, kurm eksist tdas y un z vrt+bas, ka x2+2y2+z2+xy-xz-yz=1. 8. Apr7int funkcijas y=a|x-2|+b lielko vrt+bu, ja ts grafiks iet caur punktiem A(1;-4) un B(2;1). 9. Noteikt funkcijas y=|2x+b|+a mazko vrt+bu, ja ts grafiks krusto 0x asi punktos -3 un 1. 4. § Trigonometrisks funkcijas. 4.1. Da~di piemri. 1. Piemrs. Noteikt funkcijas  EMBED Equation.3  lielko un mazko vrt+bu. Ievrosim, ka dot funkcija ir kvadrtfunkcija un tpc atdal+sim pilno kvadrtu.  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Funkcija sasniegs mazko vrt+bu EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Noteiksim funkcijas lielko vrt+bu ( to iegksim, ja pirmais saskaitmais bks lielkais. Izmantosim funkcijas y= sinx vrt+bu apgabalu ((1( sinx ( 1). T k mekljam lielko vrt+bu, tad sinx ( 1 EMBED Equation.3EMBED Equation.3 t k neviend+bas abas puses ir nenegat+vas, tad EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Funkcijas lielk vrt+ba ir 3. 2. Piemrs. Apr7int funkcijas f(x)=2sinx+cos2x+3 lielko vrt+bu intervl [ 0; EMBED Equation.3]. Prveidosim funkciju par kvadrtfunkciju un atdal+sim pilno kvadrtu f(x)= 2sinx+cos2x+3= (2sin2x+2sinx+4 = (2(sin2x(sinx(2)= =EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Funkcija iegkst lielko vrt+bu EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3. Prliecinsimies, kdas ir funkcijas vrt+bas intervla galapunktos x=0 un x=EMBED Equation.3: 1) x=0, tad f(0)= 2sin0+cos2(0+3=4, 2) x=EMBED Equation.3, tad f(EMBED Equation.3)= 2sinEMBED Equation.3+cos2(EMBED Equation.3+3=4. EMBED Equation.3. Ttad funkcijas lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 3. Piemrs. Atrast funkcijas f(x)=cos2x(2sinx mazko vrt+bu intervl [ 0; EMBED Equation.3]. f(x)=cos2x(2sinx= (sin2x(2sin2x+1= ((sinx+1)2+2. No a+ pr-veidojuma ac+mredzami var nolas+t funkcijas lielko vrt+bu 2. Funkcija pieFems mazko vrt+bu, ja (sinx+1)2 bks vislielkais. Lielk sinx vrt+ba ir 1: sinx=1, tad (sinx+1)2=22=4 un funkcijas mazk vrt+ba ir (4+2= (2. Sal+dzinsim to ar funkcijas vrt+bm intervla galapunktos x=0 un x=EMBED Equation.3. f(0)=cos20(2sin0=1 un f(EMBED Equation.3)=cos2EMBED Equation.3(2sinEMBED Equation.3=((1)2=1. Funkcijas mazk vrt+ba ir (2. 4. Piemrs. Noteikt funkcijas y=sinx(cos3x(sin3x(cosx lielko vrt+bu. y=sinx(cos3x(sin3x(cosx=sinx(cosx(cos2x(sin2x)=EMBED Equation.3sin2x(cos2x=EMBED Equation.3sin4x. T k vrt+bu apgabals ir (1 ( sin4x ( 1, tad dots funkcijas lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 5. Piemrs. Noteikt funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. 1. paFmiens. Apz+mjam sin2x=a EMBED Equation.3EMBED Equation.3; aplkkojam apgriezto funkciju EMBED Equation.3. `+s funkcijas lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3, ja EMBED Equation.3; tpc apgrieztajam liekumam pie ts paaas a vrt+bas ir mazk vrt+ba 4. 2.paFmiens. Izmantojam pakpes pazeminaanas sakar+bas (1+cos2(=2cos2(, 1(cos2(=2sin2() EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Ievrosim, ka 0 ( 1(cos22( ( 1 un da<as mazk vrt+ba ir 4. 3. paFmiens. EMBED Equation.3 6. Piemrs. Noteikt funkcijas ( EMBED Equation.3 lielko vrt+bu. Kdm x vrt+bm t atbilst? Prveidosim funkciju izmantojot sakar+bu   Funkcijas vrt+ba bks vislielk, ja  bks vismazkais, t. i.,  To sasniedz, ja . 7. Piemrs. Noteikt tos viendojuma  atrisinjumus, ar kuriem izteiksmes 1(6x(x2 vrt+ba bktu vislielk. Apr7insim izteiksmes 1(6x(x2 to x vrt+bu, pie kuras ts vrt+ba ir lielk: 1(6x(x2=((x+3)2+10. Izteiksmes lielk vrt+ba ir 10; izteiksme to iegkst, ja x=(3, un vrt+ba samazins, |x+3| pieaugot. Atrisinm viendojumu  Izmantojam sakar+bu    Viegli prbaud+t, ka skaitlim ((3) tuvk vrt+ba no aiem ir EMBED Equation.3. 8. Piemrs. Apr7int izteiksmes sinx+cosx mazko vrt+bu. sinx+cosx= =EMBED Equation.3. EMBED Equation.3 mazk vrt+ba ir (1, ttad izteiksmes mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 9. Piemrs. Noteikt funkcijas y=3sinx+3cosx(4sinxcosx lielko vrt+bu. Pieskaitm un atFemam 2sin2x un 2cos2x: y=3sinx+3cosx(4sinxcosx=3(sinx+cosx)(4sinxcosx(2sin2x( (2cos2x+2sin2x+2cos2x=3(sinx+cosx)( (2(sinx+cosx)2+2(sin2x+cos2x)= = (2(sinx+cosx)2+3(sinx+cosx)+2. Apz+m sinx+cosx=a. Tad y= (2a2+3a+2; esam ieguvuai kvadrtfunkciju, kura sasniedz lielko vrt+bu, ja EMBED Equation.3. Viegli saprast, ka sinx+cosx var pieFemt adu vrt+bu. Tpc y lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 10. Piemrs. Apr7int funkcijas y=sin2xtgx+cos2xctgx+sin2x ekstrmus. DA: EMBED Equation.3, n EMBED Equation.3 Z. Prveidojam EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. Maksiml vrt+ba lielumam sin2x ir 1, tpc y sasniedz loklos minimumus 2, ja EMBED Equation.3, n EMBED Equation.3 Z. Miniml vrt+ba lielumam sin2x ir (1, tpc y sasniedz loklos maksimumus (2, ja EMBED Equation.3, n EMBED Equation.3 Z. 11.Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. DA: x EMBED Equation.3 R. Pareizina skait+tju un saucju ar 4:  EMBED Equation.3 Ievrojam, ka 3(2sinx>0, tpc pirmajiem diviem saskaitmajiem pielietojam sakar+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko: EMBED Equation.3. Funkcijas mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 12. Piemrs. Noteikt izteiksmes EMBED Equation.3 lielko un mazko vrt+bu . DA: sin((sin(( (1. 1) T k sin( ( 1, tad (1(sin()(1(sin() ( 0 1(sin((sin(+sin(sin( ( 0 1+sin(sin( ( sin(+sin( Ievrojam, ka 1+sin(sin( > 0, tpc ar to, izdalot neviend+bas abas puses, iegkstam EMBED Equation.3. (1) 2) L+dz+gi sin( ( (1 un sin(( (1, tad (1+sin()(1+sin() ( 0 1+sin(+sin(+sin(sin( ( 0 sin(+sin( ( ((1+sin(sin(). Dalam abas neviend+bas puses ar 1+sin(sin( >0, iegkstam EMBED Equation.3. (2) Aplkkojam rezulttus (1) un (2): EMBED Equation.3. Esam ieguvuai, ka izteiksmes mazk vrt+ba ir (1 (ja (=0+2(n; EMBED Equation.3) un lielk vrt+ba ir 1 (ja (=0+2(n; EMBED Equation.3); n, k EMBED Equation.3  Z. 13. Piemrs. Kdam aauram leF7im ( izteiksmei T=sin2(cos( ir vislielk vrt+ba? T sasniegs lielko vrt+bu, ja T2 pieFems lielko vrt+bu: T2=sin4(cos2(=sin4((1(sin2(). T2 sasniegs lielko vrt+bu, ja 4T2 bks vislielkais: 4T2=4sin4((1(sin2() EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Summa EMBED Equation.3EMBED Equation.3, tpc lielko vrt+bu sasniegs, ja EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, tad EMBED Equation.3. Iegkstam EMBED Equation.3, tg2(=2, EMBED Equation.3 (jo ( aaurs) EMBED Equation.3. 14. Piemrs. Noteikt lielko vrt+bu funkcijai y=sin3x(sin6x. y=sin3(1(sin3). T k sin3x+1(sin3x=1, tad funkcija sasniegs lielko vrt+bu, ja sin3x=1(sin3x 2sin3x=1 sin3x=EMBED Equation.3 un y=EMBED Equation.3. 4.2. Funkcija y=a(cosx+b(sinx Lai noteiktu funkcijas  EMBED Equation.3  lielko un mazko vrt+bu, izmanto pal+gleF7i, t.i., 1) apr7ina EMBED Equation.3, 2) izteiksmi reizina un dala ar EMBED Equation.3. Tieam, EMBED Equation.3 =EMBED Equation.3(sin((cosx+cos((sinx)=EMBED Equation.3(sin(x+(), kur EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. `+ funkcija sasniedz lielko vrt+bu EMBED Equation.3, ja sin(x+()=1, un mazko vrt+bu EMBED Equation.3, ja sin(x+()=-1. 15. Piemrs. Noteikt izteiksmes A=3sinx-4cosx lielko un mazko vrt+bu. EMBED Equation.3  kur EMBED Equation.3 un sEMBED Equation.3. A lielk vrt+ba ir 5, ja sin(x-()=1, un mazk vrt+ba ir -5, ja sin(x-()=-1. 16. Piemrs. Noteikt funkcijas y=5sinx-12cosx vrt+bu apgabalu. EMBED Equation.3  y lielk vrt+ba ir 13, mazk vrt+ba ir -13. Ttad y([-13;13]. 4.3. Funkcija y=acos2x+bsinx(cosx+csin2x Izmantojot pakpes pazeminaanu un formulu sin2x=2sinx(cosx, iegkstam EMBED Equation.3 =EMBED Equation.3EMBED Equation.3 Apz+m y1=(a-c)cos2x+bsin2x un noteiksim ts lielko un mazko vrt+bu: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Tpc EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Ja sin(2x+()=1, tad EMBED Equation.3EMBED Equation.3; ja sin(2x+a)=-1, tad EMBED Equation.3 EMBED Equation.3. 17. Piemrs. Apr7int izteiksmes B=3sin2x+4sinx(cosx+cos2x lielko un mazko vrt+bu. EMBED Equation.3 =2+2sin2x-cos2x EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Tpc B=2+EMBED Equation.3sin(2x-() Ja sin(2x-()=1, tad C lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3 un B lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3; ja sin(2x-()=-1, tad C mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3 un B mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 18. Piemrs. Uz vienas taisn leF7a malas ir dots nogrieznis AB. Apr7int, cik tlu uz otras leF7a malas ir jatz+m punkts, lai AB no t bktu redzams vislielkaj leF7+.  PieFemam, ka mekltais punkts ir D Apz+mjam BC=a; AC=b; CD=x  EMBED Equation.3 ADC=(;  EMBED Equation.3  BDC=( Tad  EMBED Equation.3 ADB=(-(=(. Apr7insim tg( un izmantosim +paa+bu: jo lielks tg(, jo lielks ( (( aaurs leF7is). No (BCD tg(=EMBED Equation.3; no (ACD tg(=EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Da<as vrt+ba ir vislielk, ja saucjs ir vismazkais. Tpc noskaidrosim, kdm x vrt+bm saucjs ir mazkais: EMBED Equation.3 Saucja vrt+ba ir vismazk, ja EMBED Equation.3EMBED Equation.3, pie kuras tg( un ttad ar+ ( bks lielkais. 19. Piemrs. RiF7+ ievilkts trijstkris. Kd gad+jum malu kvadrtu summa ir vislielk ?  Izmantosim sinusu teormu EMBED Equation.3 a=2Rsin(; b=2Rsin(; c=2Rsin( Mums japr7ina a2+b2+c2=4R2sin2(+4R2sin2(+4R2sin2(= =4R2(sin2(+sin2(+sin2()=* Ievrosim, ka (+(+(=(, y=(-((+() un sin2((-((+())=sin2((+(). Tpc *=4R2(sin2(+sin2(+sin2((+())= EMBED Equation.3   Iekavu vrt+ba bks lielk, ja cos2((-()=1 un   Ttad   . Vislielk malu kvadrtu summa ir viendmalu trijstkrim. Uzdevumi. 1. Atrast funkcijas f(x)=2cosx-sin2x lielko vrt+bu. 2. Noteikt funkcijas a) f(x)=sin2x-3sinx mazko vrt+bu, b) f(x)=sinx-cos2x-1 mazko vrt+bu, c) f(x)=4sinx-cos2x+4 lielko vrt+bu, d) f(x)=2cos2x-cosx-1 mazko vrt+bu, e) f(x)=cos2x+3sinx+4 lielko un mazko vrt+bu, f) f(x)=sin2x+cosx-EMBED Equation.3 lielko un mazko vrt+bu. 3. Apr7int lielko un mazko vrt+bu funkcijai: 1) y=sin4x+cos4x 2) y=sin6x+cos6x 4. Noteikt izteiksmes cosx+sinx lielko vrt+bu. 5. Apr7int lielko un mazko vrt+bu izteiksmm a) EMBED Equation.3sin(+EMBED Equation.3cos( b) EMBED Equation.3cos(-sin( c) EMBED Equation.3sin(-cos( d) EMBED Equation.3cos(-EMBED Equation.3sin( e)EMBED Equation.3 6. Apr7int izteiksmes EMBED Equation.3 mazko vrt+bu. 7. Apr7int funkcijas y=(sinx+cosx)2 vrt+bu kopu. 8. Apr7int funkcijas a) y=6cosx+8sinx b)  vrt+bu apgabalu. 9. Noteikt funkcijas  ekstrmus. 10. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 vrt+bu apgabalu. 11. Apr7int sin2(, lai izteiksmei cos2((sin( bktu vislielk iespjam vrt+ba. 12. Noteikt lielko vrt+bu funkcijai y=-cos4x+cos2x. 13. Atrast funkcijas a) y=3sinx b) y=-log4cosx lielko un mazko vrt+bu. 14. Atrast funkcijas log2(cos22x+5cos2x+6) lielko vrt+bu. 15. Noteikt funkcijas  lielko vrt+bu. 16. Noteikt izteiksmes EMBED Equation.3 lielko un mazko vrt+bu. 17. Atrast funkcijas EMBED Equation.3 vrt+bu apgabalu. 5.§ Ekstrmu atraaana, pamatojoties uz vispr+go neviend+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko Labi paz+stama ir t saukt Koa+ neviend+ba: ja a1, a2, ... , an - pozit+vi skait<i, tad EMBED Equation.3, pie tam viend+ba ir spk tad un tikai tad, ja a1=a2=...=an. Plaai paz+stams ts specilgad+jums diviem pozit+viem skait<iem: EMBED Equation.3 Pard+sim, k atrod ekstrmus, balstoties uz a+m teormm. Teorma. Divu pozit+vu skait<u reizinjums, kuru summa ir konstants skaitlis, ir vislielkais, ja abi reizintji ir viendi. 1. pierd+jums. PieFemam, ka S ir abu skait<u summa, ja x - viens reizintjs, tad otrs ir S-x. Aplkkojam reizinjumu x(S-x)=-x2+Sx. `is kvadrtrinoms sasniedz lielko vrt+bu, ja EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3EMBED Equation.3, ttad, ja abi reizintji ir viendi. Un a+ reizinjuma EMBED Equation.3EMBED Equation.3 lielk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 2. pierd+jums. Aplkkosim identitti EMBED Equation.3. Ja summa x+y ir konstants skaitlis, tad lielko vrt+bu sasniegs, ja (x-y)2 bks pc iespjas mazks. Bet, t k (x-y)2 (o, tad t mazk iespjam vrtiba ir pie x-y=0, t.i., ja x=y. 3. pierd+jums. Atliek uz taisnes nogriezni AB=x+y=S un konstru pusrin7i, kam AB ir diametrs.  Atliek OC(AB; EMBED Equation.3; (ABC - taisnleFl7a, EMBED Equation.3. Novelk DE||OC; AD=x1 un DB=y1. Tad AD(DB=DE2, bet DE<OC. `o teormu var visprint ar+ patva<+gam skaitam reizintju. Teorma. Vairku pozit+vu skait<u reizinjums x1(x2(& (xn, ja ao reizintju summa x1+x2+...+xn=S ir konstanta, sasniedz lielko vrt+bu EMBED Equation.3, ja visi skait<i ir viendi. Tas ir tieas secinjums no Koa+ neviend+bas. 1. Piemrs. Noteikt funkcijas lielko vrt+bu a) y=x(5-x) Ievrosim, ka abu reizintju summa ir konstants skaitlis x+5- -x=5, tpc funkcija sasniegs lielko vrt+bu, ja abi reizintji viendi: x=5-x EMBED Equation.3 2x=5 EMBED Equation.3 un y lielk vrtiba EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. b) y=x(3-2x) Lai y bktu lielk vrt+ba, ari 2y jbkt lielkajai vrt+bai: 2y=2x(3-2x) => 2x+3-2x=3, tpc lielk vrt+ba ir, ja 2x=3-2x; tad EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. c) y=x(4-nx) y sasniegs lielko vrt+bu, ja ar+ ny sasniedz lielko vrt+bu: ny=nx(4-nx) EMBED Equation.3 nx+4-nx=4, tpc nx=4-nx, 2nx=4, EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3 d) y=x2(9-x2) x2+9-x2=9, tpc x2=9-x2, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 un y lielk y vrt+ba ir EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. e) y=x2(9-5x2) y sasniegs lielko vrt+bu, ja ar+ 5y sasniegs lielko rrt+bu: 5y=5 x2(9-5x2) => 5x2+9-5x2=9, tpc 5x2=9-5x2, EMBED Equation.3 un lielk vrt+ba EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3. f) EMBED Equation.3 y sasniegs lielko vrt+bu pie ts paaas x vrt+bas, kur y2: y2=x4(a2-x2) un y2 sasniegs lielko vrt+bu, ja EMBED Equation.3 sasniegs lielko vrt+bu: EMBED Equation.3EMBED Equation.3, . Ievrosim, ka , tpc lielk vrt+ba bks, ja , ,  un EMBED Equation.3EMBED Equation.3 2. Piemrs. Apr7int izteiksmes A=x3y lielko vrt+bu, ja x+y=a. Izsakot y=a-x, iegkstam A=x3y= x3(a-x). A sasniegs lielko vt+bu, ja ar+ 3A sasniegs lielko vrt+bu: 3A=x(x(x(3(a-x). Ievrosim, ka x+x+x+3(a-x)=3a, tpc lielk vrt+ba izteiksmei bks, ja x=3(a-x):  3. Piemrs. Kvadrtveida skrda loksnei ar malas garumu 6 no stkriem izgriezti viendi kvadrti un malas atloc+tas, izveidojot krbiFu bez vka. Kdam jbkt izgriezt kvadrta malas garumam, lai krbas tilpums bktu vislielkais?  Apz+mjam nogriezt kvadrtiFa malas garumu ar x, tad krbiFas pamata malas garums ir 6-2x un tilpums V=(6-2x)2x. V bks lielkais.tad, ja ar+ 4V bks vislielkais: 4V=4(6-2x)2x. Summa 4x+(6-2x)+(6-2x)=12 ir konstanta, tpc V bks lielkais, ja 4x=6-2x, x=1 un V=16. 4. Piemrs. Lod ar rdiusu R ievilkts cilindrs. Apr7int t cilindra izmrus, kura snu virsmas laukums ir lielkais.  Apz+mjam cilindra pamata rdiusu ar r un augstumu ar H. (2R)2=(2r)2+H2 => EMBED Equation.3. Cilindra snu virsmas laukums . Bet 2( ir konstante, tpc aplkkosim funkciju EMBED Equation.3; y bks lielk vrt+ba, ja y2 bks lielk vrt+ba: y2=r2(R2-r2). Abu reizintju summa ir r2+R2-r+2=R2 - konstante, tpc funkcijas lielk vrt+ba bks, ja r+2=R2-r2, EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3 ; . 5. Piemrs. Noteikt, kur trijstkra iekapus atrodas punkts, kura attlumu l+dz malm reizinjums ir lielkais.  PieFemsim, ka mekltais punkts ir D un attlumi no t l+dz trijstkra malm ir x; y; z. Savienojam D ar trijstkra virsotnm un apr7inm SABC=SADB+SBCD+SADC EMBED Equation.3 2S=cx+ay+bz. Ttad summa cx+ay+bz ir konstante 2S, tpc reizinjums cx(ay(bz bks lielkais, ja visi saskaitmie ir viendi: EMBED Equation.3, ttad EMBED Equation.3EMBED Equation.3; EMBED Equation.3; EMBED Equation.3. Ttad mekljamais punkts D ir medinu krustpunkts. Teorma. Vairku pozit+vu skait<u summa, kuru reizinjums ir konstante, ir vismazk, ja visi skait<i ir viendi. Teormu var pierd+t l+dz+gi paragrfa skum dotajai teormai, k ar+, tieai atsaucoties uz to. Viens pierd+jums divu skait<u gad+jum balsts uz identitti EMBED Equation.3. Citus pierd+jumus atrodiet patstv+gi. 6. Piemrs. Apr7int mazko vrt+bu funkcijai a) EMBED Equation.3, x >0 Ievrojam, ka EMBED Equation.3, tpc funkcija savu mazko vrt+bu iegks, ja abi saskaitmie viendi: EMBED Equation.3, x2=1, x=1 (jo x > 0). Ttad mazk vrt+ba ir y=2. b) EMBED Equation.3 Ievrosim, ka EMBED Equation.3, tpc pie EMBED Equation.3, x4=16, x=ą2 funkcija sasniegs mazko vrt+bu y=2. c) EMBED Equation.3, ja x >2. Izteiksmes labajai pusei pieskaita un atFem 2: . `o saskaitmo reizinjums  - konstante, td< mazk y vrt+ba ir, ja EMBED Equation.3 , (x-2)2=1, x=3, bks y=4. d) EMBED Equation.3 ja x > 0. I. Prveidojam funkciju: . Visu saskaitmo reizinjums , ttad to summa bks mazk, ja , x=1 un y=6. II. `o piemru var atrisint ar+, izmantojot sakar+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko, ja ir doti vairki saskaitmie:  K redzams, mazk iespjam funkcijas vrt+ba ir 6. 7. Piemrs. Noteikt izteiksmes  mazko vrt+bu. Prveidojam izteiksmi:  un ievrojam, ka reizinjums , ttad mazk vrt+ba izteiksmei bks, ja , ttad izteiksmes mazk vrt+ba ir 4. 8. Piemrs. Figkra sastv no cilindra, kura ir noslgts ar pussfrm. Apr7int figkras izmrus, ja ts tilpums ir V un virsmas laukums ir mazkais iespjamais.  Apz+mjam cilindra pamata un pussfras rdiusu ar R un cilindra augstumu ar H. Tad tilpums  Figkras virsmas laukums   Ievrosim, ka visu saskaitmo reizinjums  ir konstante, tpc virsmas laukums ir mazkais, ja visi saskaitmie viendi, t.i., , 4(R3=3V, , ,  mazkais  Figkras virsmas laukums ir mazkais, ja figkra sastv tikai no pussfrm, t.i., t ir lode. 9. Piemrs. Apr7int funkcijas EMBED Equation.3 lielko vrt+bu. EMBED Equation.3. Vispirms aplkkosim funkciju  reizinjums , tpc y1 mazk vrt+ba tiks iegkta, ja , x10=1, x=1 vai x= -1, un t ir 5. Ttad funkcijai y=-(x8+4) vrt+ba -5 bks lielk. Uzdevumi. 1. Apr7int mazko vrt+bu funkcijai  6.§ Treas pakpes funkcijas y=ax3+bx2+cx+d, a(0 ekstrmi  Lai noteiktu a+s funkcijas maksimumus un minimumus, aplkkojam pal+gtaisni y=t. Ar da~dm t vrt+bm dots funkcijas grafikam ar taisni y=t var bkt vai nu 1, vai 3 krustpunkti, vai ar+ 1 krustpunkts un 1 pieskaraans punkts. Mks interes tieai pdj iespja. Iegkstam viendojumu sistmu EMBED Equation.3 un viendojumu ax3+bx2+cx+d=t ax3+bx2+cx+d-t=0 (*) Ja ar x0 apz+mjam dot grafika un taisnes krustpunkta abscisu, tad x0 ir viendojuma (*) sakne. Tpc viendojumu (*) var izdal+t ar x-x0, tdjdi pazeminot viendojuma pakpi.  Esam ieguvuai dal+jumu ax2+(b+ax0)x+(c+bx0+ax02) un atlikumu d+cx0+bx02+ax03-t. T k x0 ir viendojuma sakne, tad atlikumam jbkt 0, jeb d+cx0+bx02+ax03-t=0. Dal+jum iegktajam polinomam ax2+(b+ax0)x+(c+bx0+ax02) ir jbkt divm viendm saknm, ttad jbkt D=0: D=(ax0+b)2-4a(ax02+bx0+c)=0 a2x02+2abx0+b2-4a2x02-4abx0-4ac=0 -3a2x02-2abx02+b2-4ac=0 3a2x02+2abx02+4ac-b2=0, no kurienes var apr7int EMBED Equation.3. Pie a+m x0 vrt+bm EMBED Equation.3 EMBED Equation.3.  Ja b2-3ac >0, tad ir divas x0 vrt+bas, kas atbilst maksimuma un minimuma taiaFu krustpunktu abscism (skat. 1.z+m.) Ja b2-3ac=0, grafikam ir prliekuma punkts; ja b2-3ac<0, tam nav loklo ekstrmu punktu. `ajos gad+jumos ekstrmu nav (skat. 2., 3.z+m.). 1. Piemrs. Kds ir lielkais tilpums konusam, kuru var ievilkt lod ar rdiusu R? Az+mjam konusa pamata rdiusu ar r un augstumu ar h.  (COA: OC=h-R; AO=R; AC=r. Pc Pitagora teormas OC2+AC2=AO2 (h-R)2+r2=R2 , tad r2=2Rh-h2 Konusa tilpums ir . Te V ir konstante, tpc aplkkojam funkciju y=2Rh2-h3. `ai treas pakpes funkcijai a=-1, b=2R, c=0, d=0 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 Lielkais iespjamais tilpums ir EMBED Equation.3. 2. Piemrs. No visiem cilindriem, kuru pilnas virsmas laukums ir 24( cm2, noteikt to, kuram ir lielkais tilpums.  Apz+m cilindra pamata rdiusu ar R, augstumu ar H. Pilnas virsmas laukums: S=2(R2+2(RH=24( R2+RH=12 EMBED Equation.3 Cilindra tilpums:  Esam ieguvuai treas pakpes funkciju, kuras koeficienti ir a= ((, b=0, c=12(, d=0. Iegkstam EMBED Equation.3,; ttad R=2, H=4. 3. Piemrs. Noteikt funkcijas y=x2(x(3)+5 lielko un mazko vrt+bu intervl [0;3]. Prrakstm funkciju k y=x3(3x2+5; koeficienti ir a=1; b= (3; c=0; d=5. Ttad savu maksimumu un minimumu a+ funkcija sasniedz, ja EMBED Equation.3, x1=2 un x2=0: ja x=2, tad ymin=1 , un, ja x=0, tad ymax=5. Apr7insim funkcijas vrt+bas intervla galapunktos. Galapunkts x=0 jau aplkkots; ja x=3, tad y=5. Ttad funkcijas lielk vrt+ba ir 5, mazk ( 1. Uzdevumi. 1. Jizgatavo konuss, kura veidule ir 15 cm gara. Kdam jbkt konusa augstumam, lai t tilpums bktu vislielkais? 2. Noteikt funkcijas f(x)=(x(2)(x2+1) ekstrmus. 7.§ Ekstrmu uzdevumu risinaanas meto~u minimums matemtikas olimpids `aj paragrf konspekt+vi aplkkoti paaugstintas grkt+bas pakpes algebriska rakstura uzdevumi par vienargumenta un vairkargumentu funkciju lielko un mazko vrt+bu atraaanu, kurus izdodas +si un skaisti atrisint, nelietojot matemtisks anal+zes metodes. Turklt ms apskatm gan nosac+to, gan nenosac+to ekstrmu meklaanu. Te netiek iek<auti pc bkt+bas diskrta rakstura uzdevumi, kuru risinaanai lieto specilas kombinatoriskas metodes (Dirihl principu, vidjs vrt+bas metodi utt.). Galvens metodes, kuras izdodas izdal+t literatkr sastopamajos uzdevumos, ir sekojoaas. 1. Ekstrmu uzdevumu risinaana, izmantojot neviend+bas. 1.1. Neviend+ba x2(0 1.2. Neviend+ba starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko. 1.3. Neviend+bas starp citiem vidjiem lielumiem. 1.4. Koa+-Bunjakovska neviend+ba. 1.5. ebiaeva neviend+ba. 1.6. Jensena neviend+ba. 2. "eometriskas interpretcijas lietoaana. 2.1. Lauztas l+nijas garums. 2.2. Attlumu summa. 2.3. Laukums. 3. Funkcijas vrt+bas pakpeniska monotona main+aana, izvloties piemrot veid argumenta vrt+bas. 4. Funkcijas aizstaana ar to ma~orjoau funkciju. 5. Ekstrma atraaana, konstrujot algoritmu t meklaanai. 6. Ekstrma atraaana, lietojot zinmas funkciju +paa+bas (sevia7i kvadrttrinoma +paa+bas). 7. Ekstrma atraaana, izmantojot naturlu skait<u un to neviend+bu +paa+bas. 8. Ekstrma pt+aana, izmantojot funkciju vrt+bas specil veid izvltos punktos. Aplkkosim da~us rakstur+gkos piemrus. 1.1. uzdevums. Dots, ka a2+b2+c2+d2(1. Atrast izteiksmes (a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4 lielko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Viegli prbaud+t, ka ir spk identitte (a-b)4+(a-c)4+(a-d)4+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4+(a+b)4+(a+c)4+ +(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4=6(a2+b2+c2+d2)2 (t paz+stama no skait<u teorijas; Lagran~s ar ts pal+dz+bu pierd+jis, ka katru naturlu skaitli var izsac+t ne vairk k 53 veselu skait<u ceturto pakpju summas form). No a+s identittes ms viegli secinm, ka (a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4(6, un izteiksme var pieFemt vrt+bu 6 tad un tikai tad, ja  EMBED Equation.3 . 1.2. uzdevums. Dots, ka x, y, z, u (0 un 2x+xy+z+yzu=1. Atrast lielko iespjamo izteiksmes x2y2z2u vrt+bu. Atrisinjums. Ievrojam, ka dots viend+bas kreiss puses saskaitmo reizinjums tikai ar konstantu koeficientu ata7iras no ptm reizinjuma. Tas uzvedina uz domm pt+t ao reizinjumu ar summas pal+dz+bu. Galven sakar+ba starp nenegat+vu skait<u reizinjumu un summu ir neviend+ba starp to vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko. Tieam, iegkstam , ttad . Vrt+ba  tiek sasniegta, ja ; no aejienes , y=2, , . Ttad mekljamais maksimums tieam ir . 1.3. uzdevums. Dots, ka a1+a2+a3+...+an=n. Pierd+t, ka lieluma a12+a22+...+an2 mazk iespjam vrt+ba ir n. Atrisinjums. Viegli saprast: ja a1=a2=...=an, tad vrt+ba n tiek sasniegta. To, ka t ir mazk vrt+ba, pierd+sim divos da~dos veidos. I. SaskaF ar neviend+bu starp vidjo aritmtisko un vidjo kvadrtisko iegkstam EMBED Equation.3, no kurienes seko vajadz+gais. II. Apz+mjam ai=1+(i, i=1;2;...;n. Tad S= a12+a22+...+an2= =(1+(1)2+(1+(2)2+...+(1+(n)2= n+2((1+(2+...+(n)+ ((12+(22+...+(n2). T k n= a1+a2+...+an= n+((1+(2+...+(n), tad (1+(2+...+(n=0. Tpc iegkstam S=n+((12+(22+...+(n2)(n, ko ar+ vajadzja pierd+t. 1.4.1. uzdevums. Atrast lielko iespjamo izteiksmes 3sin(+4 cos( vrt+bu. Atrisinjums. SaskaF ar Koa+- Bunjakovska neviend+bu EMBED Equation.3. EMBED Equation.3. Vrt+ba 5 tiek sasniegta, ja, piemram, EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. Ttad mekljamais maksimums ir 5. 1.4.2. uzdevums. Dots, ka EMBED Equation.3 - pozit+vi skait<i un EMBED Equation.3. Atrast izteiksmes EMBED Equation.3 mazko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Ac+mredzot, ja EMBED Equation.3, tad izteiksmes vrt+ba ir EMBED Equation.3. Apz+msim EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Tad izteiksme prveidojas par EMBED Equation.3, kur EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. SaskaF ar Koa+ - Bunjakovska neviend+bu EMBED Equation.3, no kurienes seko, ka EMBED Equation.3. Ttad mekljamais minimums ir EMBED Equation.3. 1.5. uzdevums. Atrast vismazko izteiksmes EMBED Equation.3 vrt+bu, ja EMBED Equation.3 ir skait<u (1;2;...;n) kaut kda permutcija. Atrisinjums. SaskaF ar ebiaeva neviend+bu mints izteiksmes vismazk vrt+ba tiek sasniegta, ja atbilstoaajos vektoros EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3 skait<u izkrtojumi pc lieluma ir pretji. Tpc t ir EMBED Equation.3. 1.6. uzdevums. Atrast izteiksmes EMBED Equation.3 vislielko vrt+bu, ja EMBED Equation.3 un EMBED Equation.3. Atrisinjums. Apz+msim EMBED Equation.3. Tad EMBED Equation.3, EMBED Equation.3; intervl EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, ttad funkcija EMBED Equation.3 taj izliekta uz augau. SaskaF ar Jensena neviend+bu izliektm funkcijm pastv sakar+ba EMBED Equation.3, turklt neviend+ba ir spk tad un tikai tad, ja EMBED Equation.3. Tpc mekljamais maksimums ir EMBED Equation.3 un tiek sasniegts, ja EMBED Equation.3. 2.1. uzdevums. Atrast izteiksmes EMBED Equation.3 mazko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Aplkkojam z+mjumu.  Te AB=10, AM=2, BN=3, AO=x. Viegli prbaud+t, ka apskatm izteiksme ir lauztas l+nijas MON garums; tieam, to var uzrakst+t k EMBED Equation.3. Tas ir vismazkais, ja punkti M, O, N atrodas uz vienas taisnes; tas savukrt noz+m, ka AO:OB=2:3, t.i., x=4. Iegkstam, ka mekljam mazk vrt+ba ir EMBED Equation.3. 2.2. uzdevums. Atrast izteiksmes (x-1(+(x -2(+(x-3(+...+(x-99( mazko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Apskatm uz skait<u ass punktus 1;2;...;99 un patva<+gu punktu x. Apskatm izteiksme ir punkta x attlumu summa l+dz punktiem 1;2;...;99. Pasekosim, k t mains, ja x prvietojas pa skait<u asi no  EMBED Equation.3  l+dz  EMBED Equation.3 . Prvietojoties no  EMBED Equation.3  l+dz 1, visi attlumi samazins par vienu un to paau lielumu. Prvietojoties no 1 l+dz 2, samazinsies 98 attlumi, bet palielinsies viens; visas izmaiFas notiek par vienu un to paau lielumu, ttad summa samazins. Prvietojoties starp 2 un 3, par vienu un to paau lielumu palielins 2 attlumi, bet samazins 97, ttad summa samazins. L+dz+gi turpinot, konstatjam: summa samazins, punktam x prvietojoties no  EMBED Equation.3  l+dz 50, un palielins tlkas kust+bas gait. tpc mekljamais minimums tiek sasniegts punkt x=50, un t vrt+ba ir 2(1+2+...+49)=49(50=2450. 2.3. uzdevums. Atrast izteiksmes (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) lielko iespjamo vrt+bu, ja a, b, c - pozit+vi skait<i, kuru summa ir 1. Atrisinjums. Ja kda no iekavm ir 0, tad izteiksmes vrt+ba ir 0, ja kda iekava ir negat+va, tad tda ir tikai viena (t, kur lielkais no skait<iem a, b, c ir ar m+nusa z+mi), un izteiksmes vrt+ba nav pozit+va. Ja visas iekavas ir pozit+vas, tad a, b, c var uzskat+t par tda trijstkra malu garumiem, kura perimetrs ir 1. K zinms, lielkais laukums starp trijstkriem ar konstantu perimetru ir regulram trijstkrim, tpc saskaF ar Hrona formulu EMBED Equation.3 Ce<ot neviend+bas abas puses kvadrt un ievrojot, ka a+b+c=1, iegkstam, ka EMBED Equation.3, turklt viend+ba pastv tad un tikai tad, ja EMBED Equation.3. 3. uzdevums. Zinms, ka EMBED Equation.3. Atrast izteiksmes EMBED Equation.3 lielko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Aplkkosim patva<+gus EMBED Equation.3. PieFemsim, ka tie izvietojas intervl krt+b EMBED Equation.3. Prb+d+sim x1 no paareizjs poz+cijas uz 0. Prb+des rezultt visas starp+bas, kas satur x1, pc modu<a pieaugs. Pc tam tpat prb+d+sim x2; a+s prb+des rezultt viena starp+ba EMBED Equation.3 pc modu<a samazinsies, bet 98 - pieaugs, tpc mekljam summa pieaugs. L+dz+gi prb+dm uz 0 argumentus x3; x4; ... ;x50, bet uz 1 - argumentus x100; x99; ... ;x51 (tieai ad sec+b); ptms izteiksmes vrt+ba pieaug. Tieai secinm, ka lielk vrt+ba tiek sasniegta, ja x1=x2=...=x50=0 un x51=...=x100=1. Tad a+ vrt+ba ir 50(50=2500. 4. uzdevums. Zinms, ka x1+...+x100=1un visi skait<i x1,x2,...,x100 ir nenegat+vi. Atrast izteiksmes S= x1(x2+ x2(x3+...+ x98(x99+ x99(x100 lielko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Viegli saprast, ka EMBED Equation.3. Savukrt no neviend+bas starp vidjo aritmtisko un vidjo #eometrisko tlk seko, ka EMBED Equation.3. Vrt+ba EMBED Equation.3 tiek sasniegta, piemram, ja EMBED Equation.3 un x3=x4=...=x100=0. Ttad mekljamais maksimums ir EMBED Equation.3. 5. uzdevums. A, B, C, D, E, F, G, H ir pilstas. Z+mjum dotaj tabul ierakst+tie skait<i rda, cik tkkstoaus rub<u maks ce<a uzbkvaana no vienas pilstas uz otru. Piemram, rktiFa, kas atrodas C rindiFas un E kolonnas krustojum, rda, ka ce<a uzbkvaana no C uz E maks 73 tkkst. rb<. Kdi ce<i juzbkv, lai pa tiem no katras pilstas vartu aizbraukt uz katru un kopjs bkves izmaksas bktu vismazks iespjams? ( No viena ce<a uz otru var nogriezties tikai paas pilsts, ce<u krustojumu starp pilstm nav.) Pamatojiet savu izvli.  Atrisinjums. `aj uzdevum tikai tieai no vienas pilstas uz otru (bez starppilstm) uzbkvjamu ce<u sauksim par ce<u. Tdu ce<u sistmu, pa kur ieejoaajiem ce<iem no katras pilstas var aizbraukt uz katru un kas ir visltk no sistmm ar adu +paa+bu, sauksim par visltko sistmu. Ievrosim, ka visi uzbkvjamie ce<i ir ar da~dm izmaksm. Lemma. Visltk sistma noteikti satur visltk uzbkvjamo ce<u. PieFemsim, ka visltk uzbkvjamais ce<a savienotu pilstas X un Y, bet visltkaj sistm tas neietilpst. Tad no X uz Y aaj sistm var aizbraukt pa citiem ce<iem caur pilstm Z1,...,Zn.  Uzbkvsim ce<u starp X un Y, bet likvidsim jebkuru no ce<iem XZ1, Z1Z2, ... ZnY. Iegkt sistma ir ltka par iepriekajo (jo ce<a XY ir ltks par likvidto ce<u), un pa ts ce<iem var aizbraukt no jebkuras pilstas uz jebkuru. (Pierd+sim, ka jaunaj sistm tieam no jebkuras pilstas var aizbraukt uz jebkuru. Eemsim divas pilstas U un V. PieFemsim, ka likvidtais ce<a ir ZkZk+1. Ja vecaj sistm no U uz V varja aizbraukt, nebraucot pa ce<u ZkZk+1, tad jaunaj to var izdar+t, posma ZkZk+1 viet izmantojot posmu ZkZk-1 ...Z1 XY Zn ... Zk+1.) Ttad skum skum Femt sistma nav bijusi visltk, kas ir pretrun ar pieFmumu. Lemma pierd+ta. Ttad visltkaj sistm jietilpst visltkajam ce<am. Kad tas uzbkvts, abas pilstas, kuras tas savieno, varam uzskat+t par vienu pilstu. Ttad esam ieguvuai pilstu sistmu, kur ir par vienu pilstu mazk nek skotnj. `ai sistmai atkal varam pielietot lemmu, utt. Jievro tikai, ka, pielietojot lemmu jaunajai, reductajai pilstu sistmai, nav jFem vr vl neuzbkvtie ce<i, kas savieno tdas pilstas, kuras savieno jau uzbkvto ce<u virknes; tdas pilstas tiek uzskat+tas par vienu. R+kojoties pc adas metodes, iegkstam sekojoau ce<u sistmu:  Pie ce<iem pievienotie cipariFi rda krt+bu, kd tos iegkst pc ieprieka aprakst+ts metodes. 6. uzdevums. Atrast lielko vrt+bu, kdu nenegat+viem x var pieFemt izteiksme EMBED Equation.3 Atrisinjums. Aplkkosim funkciju EMBED Equation.3. T k EMBED Equation.3 ir augoaa funkcija pie EMBED Equation.3 un pieFem pozit+vas vrt+bas, tad ts minimums ir punkt x=0, kas ir funkcijas f(x) maksimuma punkts. Ttad f(x) lielk vrt+ba ir 10, un t tiek sasniegta punkt x=0. Risinjum izmantota funkcijas EMBED Equation.3 monoton augaana un funkcijas EMBED Equation.3 monoton dilaana apskatmaj apgabal. 7. uzdevums. Atrast izteiksmes EMBED Equation.3 mazko iespjamo vrt+bu, ja m un n - naturli skait<i. Atrisinjums. Ievrosim, ka 36n visiem naturliem n beidzas ar ciparu 6, bet 5m visiem naturliem m beidzas ar ciparu 5. Tpc EMBED Equation.3 beidzas ar 1 vai ar 9. Ja n=2 un m=1, tad izteiksmes vrt+ba ir 11. Lai pierd+tu, ka tas ir minimums, jpamato, kpc a+ vrt+ba nevar bkt ne 1, ne 9. PieFemsim, ka EMBED Equation.3=1, tad jbkt 36n-5m=1, kas prveidojas par 36n-1=5m un tlk par (6n-1)((6n+1)=5m. SaskaF ar aritmtikas pamatteormu skait<iem 6n-1 un 6n+1 abiem jbkt no skait<u virknes 1; 5; 25; 125;... ; 5k;.... Bet t nevar bkt, jo aaj virkn nav divu skait<u, kas viens no otra ata7iras par 2. Ttad izteiksme nevar pieFemt vrt+bu 1. PieFemsim, ka EMBED Equation.3=9; tad jbkt 36n-5m=9 un 5m=9+36n. T nevar bkt, jo iegkts viend+bas lab puse dals ar 3, bet kreis - n. Ttad apskatms izteiksmes minimums tieam ir 11. 8. uzdevums. Dots, ka a, b, c - reli skait<i un visiem x no intervla [0;1] pastv sakar+ba (ax2+bx+c((1. Atrast izteiksmes (a(+(b(+(c( lielko iespjamo vrt+bu. Atrisinjums. Izmantojam uzdevuma nosac+jumos doto faktu pie x=0; x=1/2; x=1. Iegkstam neviend+bas (f1((1, (f2((1, (f3((1, kur EMBED Equation.3 Atrisinot ao linero viendojumu sistmu, iegkstam a=2f1-4f2+2f3, tpc (a((8 b=-3f1+4f2-f3, tpc (b((8 c=f1, tpc (c((1. Ttad (a(+(b(+(c((17. Piemrs 8x2-8x+1=2(2x-1)2-1 parda, ka vrt+ba 17 ir sasniedzama. Ttad mekljamais maksimums ir 17. 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&Ekstrçmu uzdevumu risinâđanas metodes TitleŒ 8@ _PID_HLINKSéADx8w_Toc1091131048q_Toc1091131038k_Toc1091131028e_Toc1091131018__Toc1091131009Y_Toc1091130999S_Toc1091130989M_Toc1091130979G_Toc1091130969A_Toc1091130959;_Toc10911309495_Toc1091130939/_Toc1091130929&_Toc1091130919 _Toc1091130909_Toc1091130899_Toc1091130889_Toc1091130879_Toc1091130869_Toc109113085ţ˙ ˙˙˙˙ ŔFMicrosoft Word Document MSWordDocWord.Document.8ô9˛qƒŽ›ŽŻŽźŻÓŻb°v°„°˜°™°­° ą4ąVą~ą#˛7˛łłÉ´Ý´śľĘľĎľăľëľ˙ľ ś ś-śAśFśZśaśuśśŁśeˇyˇß¸ó¸%š9šş(şŠş˝ş-źAźEźmź§źĎźăź÷ź˝3˝\žpž†žšžœż°żâŔöŔ ÁHÁŮÁíÁńÁ-žÂŇÂÖÂĂ;ĂOĂQĂeÀüĂ=ÄQÄeÄĄÄŚÄşÄ(Ĺ<ĹWĹĹžĹćĹ÷Ć÷ĆéČéČŻÉĂÉĘ(ĘĐĘäĘčĘüĘËËĚ%̡̣̿ĚçĚéĚýĚ˙ĚÍZÎnÎËÎßÎôÎĎPĎdϜϰϿĎÓĎßĎóĎ*Đ>ĐÂĐÖĐôĐŃWŃ\Ń0ŐDŐVŐjŐMÖNÖŹ×Ŕ×9ÚMÚxڌÚóÜÝ ÝÝ@ÝTÝ0ŢDŢśŢĘŢľßÉßKáLáşéŃé`ítíď+ď-ďAďkďďƒď—ďÖďęďđđ)đ=đuđ‰đĽđšđĹđŮđŰđďđńđń%ń9ń?ńSńUńińkńńń•ńÁńŐńěńň ň4ňbňvňƒň—ňCóWó[óoó¨óźóŕóôó ô ô$ô8ôRôfôlô€ô‚ô–ô˘ôśôˇôËôÜôđôLő`ő”ő¨őÉőÝőôőö,ö@ö÷÷°÷Ä÷Ĺ÷Ć÷öř ůů*ů>ůUůôú űœűűčýüýKţ_ţţŁţ¤ţĽţžţŇţćţúţ9˙M˙~˙’˙J^ł´}‘ęţ:Nƒ—™™™ ­ Ď ă ë ˙ +ô';ƒ—Oc 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