ࡱ> Ns9 ~bjbjcpy2l^^^$l2 ضضضض{{{acccccc$ 44^{{{{#ضض 8###{F ض^ضa#{a#*#MN \ ^=fض ~V c=f$00chg h=f#ESCALA DE JOGOS DE TORNEIOS ESPORTIVOS: UMA ABORDAGEM VIA SIMULATED ANNEALING Resumo Esse trabalho aborda o problema de programao de jogos de torneios esportivos. Relata-se uma experincia com a utilizao da tcnica metaheurstica Simulated Annealing aplicada na montagem da tabela de jogos da primeira diviso do Campeonato Brasileiro de Futebol de 2002, tendo como objetivo a minimizao dos deslocamentos de todos os times durante o campeonato e a satisfao de um determinado conjunto de restries. Palavras-chave: Programao de jogos de torneios esportivos, Simulated Annealing, Otimizao Combinatria. Abstract This work deals with the sports timetabling problem. It relates an experience with the application of Simulated Annealing metaheuristic in the elaboration of the Brazilian Soccer Championships schedule of 2002. The objective is to minimize the total distance traveled by the teams during the championship satisfying a given set of constraints. Keywords: Sports Timetabling, Simulated Annealing, Combinatorial Optimization. ESCALA DE JOGOS DE TORNEIOS ESPORTIVOS: UMA ABORDAGEM VIA SIMULATED ANNEALING Fabrcio Lacerda Biajoli Universidade Federal de Ouro Preto R. Artur Vitorino Coelho, 153 - Bauxita 35.400-000 Ouro Preto, MG  HYPERLINK "mailto:fabriciolacerd@bol.com.br" fabriciolacerd@bol.com.br Otvio Massashi Mine Universidade Federal de Ouro Preto R. Artur Vitorino Coelho, 153 - Bauxita 35.400-000 Ouro Preto, MG  HYPERLINK "mailto:massashi.mine@bol.com.br" massashi.mine@bol.com.br Antnio Augusto Chaves Universidade Federal de Ouro Preto R. Artur Vitorino Coelho, 153 - Bauxita 35.400-000 Ouro Preto, MG  HYPERLINK "mailto:guto.chaves@bol.com.br" guto.chaves@bol.com.br Marcone Jamilson Freitas Souza Departamento de Computao Universidade Federal de Ouro Preto 35.400-000 Ouro Preto, MG  HYPERLINK "mailto:marcone@iceb.ufop.br" marcone@iceb.ufop.br Resumo Esse trabalho aborda o problema de programao de jogos de torneios esportivos. Relata-se uma experincia com a utilizao da tcnica metaheurstica Simulated Annealing aplicada na montagem da tabela de jogos da primeira diviso do Campeonato Brasileiro de Futebol de 2002, tendo como objetivo a minimizao dos deslocamentos de todos os times durante o campeonato e a satisfao de um determinado conjunto de restries. Palavras-chave: Programao de jogos de torneios esportivos, Simulated Annealing, Otimizao Combinatria. Abstract This work deals with the sports timetabling problem. It relates an experience with the application of Simulated Annealing metaheuristic in the elaboration of the Brazilian Soccer Championships schedule of 2002. The objective is to minimize the total distance traveled by the teams during the championship satisfying a given set of constraints. Keywords: Sports Timetabling, Simulated Annealing, Combinatorial Optimization. 1. Introduo Montar uma tabela de jogos de uma competio esportiva como o Campeonato Brasileiro de Futebol uma tarefa muito complexa. necessrio atender a uma srie de requisitos envolvendo vrios aspectos como, por exemplo, a quantidade de vezes que um time pode jogar consecutivamente fora de sua sede, a minimizao dos custos com o deslocamento dos times, o atendimento s redes de televiso etc. A dificuldade de soluo desse problema devida ao grande nmero de possibilidades a serem analisadas. De acordo com Conclio & Zuben (2002), para uma competio envolvendo n times, com n par, confrontando-se entre si em turnos completos (onde todos os times jogam em cada rodada), o nmero de combinaes possveis dado por:  EMBED Equation.3  Para exemplificar a magnitude do espao de solues, para um torneio com 20 participantes h 2,9062(10130 combinaes possveis. Em vista desse fato, este problema normalmente abordado por tcnicas heursticas de soluo. Conclio & Zuben (2002) abordam o problema da montagem da tabela de jogos do Campeonato Paulista de Futebol de 1997 utilizando programao gentica. As restries abordadas nesse trabalho so: (a) cada participante deve enfrentar todos os seus adversrios uma nica vez durante o torneio; (b) todos os participantes devem jogar a cada rodada; (c) a diferena do nmero de jogos de cada participante em seu domnio e fora dele no mximo um; (d) o nmero mximo de jogos consecutivos no domnio do participante (ou fora) no superior a um nmero r. Na funo de aptido de uma escala leva-se em considerao se todos os participantes esto percorrendo uma distncia parecida ao longo das rodadas, de forma a no privilegiar este ou aquele participante em termos de custo e tempo de deslocamento. Para avaliar esta parcela da funo de aptido toma-se o inverso da diferena entre as distncias mxima e mnima percorridas pelos participantes do torneio, considerando todas as rodadas. Costa (1995) desenvolve um mtodo hbrido combinando as tcnicas Algoritmos Genticos e Busca Tabu para resolver um problema de escalonamento de jogos da Liga Americana de Hquei. As principais restries consideradas nesse trabalho so as seguintes: (a) cada time aponta 56 datas para poderem jogar em casa, sendo que apenas 41 dessas datas sero de fato escolhidas; (b) a distncia total percorrida pelos times ao longo da competio deve ser minimizada; (c) um time no pode jogar mais do que dois dias e nem mais que trs jogos em 5 dias consecutivos; (d) um time no pode ficar fora de seu domnio mais do que 14 dias seguidos. Nemhauser & Trick (1998) tratam o problema da alocao de jogos de um torneio de basquete envolvendo 9 times de diferentes localidades dos Estados Unidos utilizando uma combinao de uma tcnica de programao inteira e uma tcnica enumerativa. O procedimento proposto contm 3 fases. A primeira fase consiste em gerar um conjunto de padres de cardinalidade igual ao nmero n de times. Cada padro uma sequncia de n-1 strings, sendo que cada string pode assumir um dentre dois valores, a saber, casa (C) ou fora (F). Na segunda fase os jogos so designados aos padres, sem se estabelecer quais so os times envolvidos em cada jogo. Finalmente, na ltima fase, os times so designados aos padres, produzindo uma escala. O presente trabalho relata uma experincia com a utilizao da tcnica Simulated Annealing aplicada resoluo do problema. A estrutura de vizinhana considerada diferente daquela proposta em Costa (1995) e os resultados obtidos comprovam a eficincia desta tcnica na abordagem do problema. Esta tcnica foi escolhida em funo dos seguintes fatos, entre outros: (a) eficincia na abordagem de problemas altamente combinatrios como os de programao de horrios (timetabling) (DOWSLAND, 1998); (b) no dependente de soluo inicial vivel, a qual, para o problema abordado muito difcil de se conseguir; (c) no fortemente dependente de uma boa soluo inicial; (d) facilidade de implementao. Comparaes com outros trabalhos correlatos no foram possveis em virtude de os problemas abordados terem requisitos diferentes. Acreditamos que a abordagem atravs dessa tcnica produza solues de boa qualidade em menor tempo do que as produzidas usando Algoritmos Genticos (mtodo usado em Conclio & Zuben (2002) e Costa(1995)), em vista desse ltimo mtodo requerer um maior esforo computacional, principalmente devido necessidade de implementao de busca local e refinamentos para tratar de problemas de escalonamento (CONCLIO & ZUBEN, 2002). Este trabalho est organizado como segue. Na seo 2 descreve-se o problema abordado. A seo 3 apresenta a metodologia abordada, incluindo a forma de representao adotada e de gerao de uma soluo inicial, a estrutura de vizinhana, a funo de avaliao e a adaptao da tcnica heurstica Simulated Annealing ao problema. A seo 4 apresenta detalhes de implementao e a seo 5 mostra os resultados encontrados. A seo 6 conclui o trabalho e aponta os trabalhos futuros. 2. Descrio do Problema Abordado O problema abordado o da montagem da tabela de jogos da primeira diviso do campeonato brasileiro de futebol de 2002. Neste problema h 26 times que devem se confrontar em 29 rodadas, satisfazendo a uma srie de requisitos impostos pela Confederao Brasileira de Futebol (CBF), entre os quais: Um time no pode jogar mais de uma vez na mesma rodada; O campeonato deve ser realizado em turno nico, isto , cada time s pode jogar uma nica vez contra outro time durante o campeonato, seja em sua sede ou fora dela; Nas duas primeiras rodadas que cada time participar, um jogo deve ser realizado fora de sua sede e outro em sua sede. Exemplificando, se na primeira rodada o primeiro confronto de um time for fora de casa, ento seu prximo confronto deve ser realizado em casa, ou vice versa; As duas ltimas rodadas que cada time participar devem ter a mesma configurao de seus dois primeiros confrontos. Exemplificando, se os dois primeiros confrontos foram jogar fora de casa e depois em casa, respectivamente, ento os dois ltimos confrontos devem ser, respectivamente, jogar fora de casa e depois em casa; O nmero de jogos fora de casa deve ser igual ao nmero de jogos em casa. Quando o nmero de jogos for mpar, o time com melhor posio no ranking da CBF joga uma partida a mais em casa; No pode haver jogos entre clubes do mesmo estado na ltima rodada; Evitar que um time jogue mais de duas vezes consecutivas em casa; Evitar que um time jogue mais de duas vezes consecutivas fora de casa. Os seis primeiros requisitos ((a) ... (f)) so considerados essenciais, isto , se eles no forem satisfeitos a tabela invivel e no pode ser praticada na competio. Os dois ltimos requisitos ((g) e (h)) so considerados no-essenciais, isto , devem ser satisfeitos sempre que possvel. Alm de procurar atender a esses requisitos, a CBF procura na montagem da tabela minimizar os gastos dos clubes com seus deslocamentos ao longo das rodadas. Nesse sentido, este trabalho considera, em carter preliminar, a minimizao da soma das distncias percorridas pelos times durante o campeonato. Um objetivo mais realista, que se encontra em fase de levantamento, considerar as despesas financeiras de cada time com cada deslocamento, bem como com as despesas dirias de manuteno fora de casa. Tambm, em carter preliminar, tratou-se apenas os dois primeiros requisitos ((a) e (b)), bem como o ltimo requisito listado anteriormente. 3. Metodologia A metodologia considerada neste trabalho para tratar o problema baseia-se na metaheurstica Simulated Annealing. Sendo assim, requer-se a definio da forma de representao de uma soluo do problema (seo 3.1), da gerao de uma soluo inicial (seo 3.2), do estabelecimento de estrutura(s) de vizinhana (seo 3.3), de uma funo de avaliao (seo 3.4), bem como da adaptao do mtodo para abordar o problema (seo 3.5). 3.1. Representao Uma tabela, ou soluo s = (sij) do problema, representada por uma matriz com tantas linhas quantas forem as rodadas do torneio e com tantas colunas quantos forem os confrontos por rodada. Como o campeonato de 2002 contou com a participao de 26 times que se confrontaram em 29 rodadas, ento uma soluo s para este problema uma matriz com 29 linhas e 13 colunas. Na realidade bastavam 25 rodadas para a realizao de todos os jogos. No entanto, optou-se por considerar 29 rodadas para efeito de comparao de resultados. Nesta matriz cada clula sij representa um possvel jogo. Um jogo do tipo A X B (onde A tem mando de campo) ou B X A (onde B tem mando de campo) representado unicamente por (sinal) A X B, sendo o mando de campo definido pelo sinal. Quando positivo, o mando de campo do time A e, quando negativo, o mando do time B. Ou seja, o jogo A X B representado por (+A X B) e o jogo B X A, por (-A X B). A Figura 1 ilustra um fragmento de uma escala. Rodadas/Jogo1...131+ A X B- C X D.........29- C X B+ A X E Figura 1 Representao de uma escala de jogos Deve ser observado que, como h um mximo de 13 jogos a serem realizados em cada uma das 29 rodadas, tem-se 377 clulas sij disponveis para representar os 325 jogos possveis. Em outras palavras, nem todas as rodadas sero completas, isto , haver rodadas em que alguns times no participaro. 3.2. Gerao de uma soluo inicial A soluo inicial obtida de forma aleatria, conforme a seguir se descreve. Inicialmente constri-se uma lista L de todos os possveis confrontos, com cada confronto envolvendo dois times distintos aparecendo uma nica vez, e sendo o mando de campo definido por um sinal aleatoriamente escolhido. A seguir, para cada jogo de cada rodada escolhe-se aleatoriamente um confronto da lista L, alocando-o rodada. A lista L , ento, atualizada para que os confrontos sorteados no sejam escolhidos novamente. Este procedimento prossegue enquanto a lista L for no vazia. Como parmetros este procedimento necessita da lista L de confrontos, da matriz Tabela que representa uma soluo e da varivel rMax, que o nmero mximo de rodadas a serem preenchidas. Para o problema abordado o rMax tem valor 29. A Figura 2 apresenta o pseudo-cdigo do procedimento de gerao de uma soluo inicial.  Figura 2 Procedimento de gerao de uma soluo inicial importante salientar que em virtude da forma de gerao da lista de confrontos e da construo da soluo inicial, o requisito (b) estabelecido na seo 2 sempre verificado, isto , cada time confronta cada um dos outros uma nica vez. 3.3. Estrutura de Vizinhana Foram definidos dois tipos de movimentos para definir a vizinhana N(s) de uma dada escala s. O primeiro caracteriza-se pela mudana do mando de campo, ou seja, pela troca de sinal do valor que representa o primeiro time de um dado jogo. A Figura 3 ilustra este tipo de movimento. Como pode ser observado na escala s, no jogo 1 da primeira rodada o mando de campo do time A, enquanto que na escala s o mando de campo passou para o time B.  Figura 3 Representao do movimento mudana de mando de campo O segundo movimento caracterizado pela troca de jogos entre as rodadas. A Figura 4 ilustra tal movimento. Como pode ser observado, o confronto entre os times A e B, realizado na escala s na primeira rodada, passa a ser realizado na escala s na ltima rodada. Situao inversa ocorre com o confronto entre os times C e D.  Figura 4 Representao do movimento troca de jogos entre rodadas Uma escala, ou soluo s, dita vizinha de s se for obtida desta a partir de um movimento ou de mudana de mando de campo ou de troca de rodadas. 3.4. Funo de Avaliao Uma escala s avaliada por uma funo  EMBED Equation.3 , onde S o conjunto de todas as possveis escalas. Esta funo, a qual deve ser minimizada, baseada em penalidade e composta por trs partes distintas. A primeira trata da distncia percorrida pelos times na seqncia de seus confrontos. As outras duas penalizam o no atendimento ao primeiro e ltimo dos requisitos definidos na seo 2. A funo de avaliao considerada, inspirada no trabalho de Costa (1995), a seguinte:  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  Onde: A = conjunto de todos os deslocamentos realizados pelos times na escala corrente s; Dij = Distncia entre as sedes dos times i e j; (Ver Anexo B) ExcessoRodadasi = Nmero de vezes que o time i joga mais de uma vez na mesma rodada; ConsecutivasForai = Nmero de vezes que o time i joga mais de duas vezes consecutivas fora de casa; Ntimes = Nmero de times do torneio; (1= Penalidade para ExcessoRodadasi; (2= Penalidade para ConsecutivasForai; 3.5. Simulated Annealing Simulated Annealing um mtodo de busca local proposta por Kirkpatrick et al. (1983) que admite solues de piora para tentar escapar de timos locais. Assim como os mtodos tradicionais de busca local, esta tcnica requer que seja definida uma estrutura de vizinhana e uma funo de avaliao f que associa a cada soluo um valor numrico representando o custo da soluo. O processo inicia com um membro s qualquer do espao de solues, normalmente gerado aleatoriamente, e seleciona aleatoriamente um de seus vizinhos s. Se esse vizinho s for melhor que s, ele aceito e passa a ser a nova soluo corrente. Se o vizinho s for pior que s por um valor (, ele pode ser aceito com uma probabilidade e(/T, onde T decresce gradualmente com o progresso do algoritmo. Esse procedimento repetido at que T seja to pequeno que no ocorra mais movimentos de melhora. A melhor soluo encontrada durante a busca considerada como uma aproximao para a soluo tima do problema. Esta tcnica foi originalmente derivada de simulaes em termodinmica e, por esta razo, o parmetro T referido como a temperatura e a maneira como ela reduzida conhecida como esquema de resfriamento (DOWSLAND, 1993). O esquema de resfriamento adotado neste trabalho foi o geomtrico, isto , a temperatura T atualizada pela frmula T ( ( ( T, onde ( representa a razo de resfriamento. A Figura 5 apresenta o pseudocdigo do algoritmo Simulated Annealing usado para minimizar uma funo f. Este algoritmo tem como parmetros de entrada uma soluo inicial s (obtida conforme seo 3.2), uma temperatura inicial T0, uma estrutura de vizinhana N(.), um nmero mximo de iteraes em uma dada temperatura (SAmax) e uma razo de resfriamento (.  Figura 5 Algoritmo Simulated Annealing 4. Implementao Para desenvolvimento do sistema computacional foi utilizada a linguagem Delphi. Uma escala de jogos foi implementada como uma matriz composta por 29 linhas (representando as rodadas) e 13 colunas (representando o nmero mximo de confrontos por rodada) de clulas do tipo Tjogo. Tjogo um registro composto por dois campos inteiros t1 e t2 representando os times envolvidos no confronto: TJogo = record t1, t2 : integer; end; Escala: array[1..29, 1..13] of TJogo; Para quantificar o no atendimento aos dois requisitos tratados, bem como as distncias percorridas por cada time foi criada uma Matriz de Controle, composta por 27 x 31 = 837 clulas de dois campos: casa e fora. Em cada uma das 26 primeiras linhas dessa matriz, que correspondem aos 26 times que participam do campeonato, so armazenados no campo casa (respectivamente, fora de casa) o nmero de vezes que cada time joga em casa (respectivamente, fora de casa) em uma das 29 rodadas do campeonato. A 30 coluna armazena a distncia percorrida por cada time. Na 31 coluna armazena-se o nmero de vezes que um time joga mais de duas vezes fora de casa (ltimo dos requisitos listados na seo 2). A 27 linha contabiliza o nmero de vezes que os times jogam mais de uma vez em uma mesma rodada (primeiro dos requisitos listados na seo 2). Uma ilustrao dessa matriz dada a seguir: Times/Rodadas1...311Casa Fora...27Figura 6 Representao dos jogos em casa e fora de casa para cada time 5. Resultados O algoritmo desenvolvido foi implementado na linguagem Delphi usando o compilador Borland Delphi 5.0 e testado em um microcomputador PC AMD Atlhon, 1,5 GHz, com 256 MB de RAM sob sistema operacional Windows ME. Inicialmente, a metaheurstica Simulated Annealing passou por uma bateria preliminar de testes visando calibragem de seus parmetros. Foram os seguintes os parmetros e pesos utilizados, conforme notao adotada na seo 3.4: SAmax = 3300 (nmero de iteraes em uma dada temperatura), T0 = 1600 (temperatura inicial), ( = 0.95 (taxa de resfriamento), (1 = 108 e (2 = 107. Foram realizados 12 testes, cada qual partindo de uma semente diferente de nmeros aleatrios. As caractersticas de cada um desses testes encontram-se relatadas na Tabela 1. TesteValor inicial de f(s)DistnciaExcessoRodadasConsecutivasFora1173205046815046811667221812049567249567217572350205555255555254732476305028265028267243511420527890507890108626194104915854915854877171985052302052302019265818860466840513258170739177305132585132581707310493054728054738046331153405257525257525034121967050884250884219067Tabela 1 Dados relativos soluo inicial aleatria Aps a aplicao do algoritmo proposto, foram obtidas as solues finais com as caractersticas expostas na Tabela 2. TesteValor final de f(s)DistnciaExcessoRodadasConsecutivasFora135030535030500230314330314300335382135382100434304534304500535926735926700634091934091900733561233561200835149335149300933116933116900103387103387100011331217331217001234970234970200Tabela 2 Dados das solues finais obtidas pelo algoritmo proposto O valor mdio obtido foi de 340700,3 Km, com a melhor soluo de valor 303143 Km e a pior de 359267 Km. O desvio em relao ao melhor valor encontrado pelo algoritmo, isto , desvio = ((Valor Mdio - Melhor Valor)(100)/(Melhor Valor) foi de 12,39%. A Tabela 3 relaciona os resultados obtidos com os valores apresentados pela tabela oficial do Campeonato Brasileiro de Futebol de 2002. Tabela Oficial do ano 2002Resultados obtidos pelo algoritmo propostof(s)DistnciaConsecutivasForaSoluof(s)DistnciaConsecutivasForaMelhora80.613.556613.5568Melhor303.143303.143050,56%Pior359.267359.267041,45%Tabela 3 Comparao entre os resultados oficiais e os obtidos O tempo mdio de resoluo do problema foi de aproximadamente 8,5 minutos. A tabela referente melhor soluo obtida apresentada no Anexo A. 6. Concluso e Trabalhos Futuros Este trabalho contribui com a apresentao de uma modelagem heurstica, baseada em Simulated Annealing, para tratar a montagem de uma tabela de jogos entre times participantes de uma competio esportiva realizada em vrios locais e ao longo de vrias rodadas. Foi desenvolvido um sistema computacional para tratar um conjunto reduzido de requisitos relativos montagem da escala de jogos do campeonato brasileiro de 2002. Os resultados apresentados demonstram claramente a eficincia do mtodo na abordagem do problema, tanto no atendimento aos requisitos exigidos, quanto na diminuio dos custos envolvidos. Observa-se que, no pior caso, houve uma melhora de at 41,45% em relao distncia total percorrida pelos times na tabela oficial. importante ressaltar, entretanto, que apesar de a metodologia proposta resultar em diminuio de custos com deslocamento, ela no de implementao fcil devido sobretudo a fatores polticos. Por exemplo, muitos dirigentes podem achar que seus times foram prejudicados em relao a outros pela sequncia de jogos da tabela implementada. tambm oportuno dizer que a abordagem proposta no leva em considerao a participao dos times em outras competies. Sendo assim, otimiza-se to somente o deslocamento dos times na competio. Atualmente est-se implementando os requisitos relacionados na seo 2 e no considerados nesta fase preliminar, bem como outros relativos s exigncias das redes de televiso, a fim de torn-lo mais prximo da realidade praticada pela CBF. Agradecimentos Os autores agradecem Confederao Brasileira de Futebol (CBF), particularmente ao Dr. Tnus Jorge Nagem, pela disponibilizao das informaes necessrias execuo deste trabalho. Referncias CONCLIO, R. & ZUBEN, F. J. (2002) Uma Abordagem Evolutiva para Gerao Automtica de Turnos Completos em Torneios. Revista Controle & Automao, v. 13, n. 2, p. 105-122. COSTA, D. (1995) An Evolutionary Tabu Search Algorithm and the NHL Scheduling Problem. INFORS, v. 33, n. 3, p. 161-178. DOWSLAND, K. A. (1993) - Simulated Annealing. In C.R. Reeves, editor, Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems, Advanced Topics in Computer Science Series, chapter 2, p. 20-69. Blackwell Scientific Publications, London. DOWSLAND, K. A. (1998) Off-the-Peg or Made-to-Measure? Timetabling and Scheduling with SA and TS. In Practice and Theory of Automated Timeabling II (Burke, E. And Carter, M., eds), Lecture Notes in Computer Science, v. 1408, p. 37-52. KIRKPATRICK, S.; GELLAT, D. C. & VECCHI, M. P. (1983) - Optimization by Simulated Annealing. Science, v. 220, p. 671-680. NEMHAUSER, G. L. & TRICK, M. A. (1998) Scheduling a Major College Basketball Conference. Operations Research, v. 46, n. 1, p. 1-8. Rodada/Jogo12345678910111213TimesNRodada 121 X 56 X 2620 X 322 X 1910 X 1312 X 97 X 1825 X 28 X 1124 X 231 X 17--Atltico-MG1Rodada 222 X 58 X 23 X 1416 X 79 X 617 X 2026 X 1219 X 1518 X 2123 X 254 X 10--Cruzeiro2Rodada 325 X 915 X 205 X 2610 X 61 X 2416 X 2111 X 1213 X 148 X 1722 X 18---So Paulo3Rodada 45 X 12 X 1016 X 319 X 821 X 724 X 412 X 1715 X 1320 X 189 X 2226 X 11--So Caetano4Rodada 514 X 232 X 1117 X 196 X 17 X 2520 X 810 X 313 X 922 X 1518 X 24---Corinthians5Rodada 63 X 2212 X 214 X 104 X 256 X 1323 X 79 X 1719 X 2620 X 1611 X 58 X 2415 X 18-Palmeiras6Rodada 71 X 82 X 133 X 1910 X 1514 X 624 X 717 X 2322 X 1116 X 912 X 214 X 2025 X 5-Portuguesa7Rodada 89 X 16 X 2213 X 314 X 167 X 268 X 2111 X 1725 X 1219 X 2015 X 244 X 2--Figueirense8Rodada 91 X 1023 X 221 X 35 X 716 X 69 X 2412 X 1918 X 1120 X 1326 X 1522 X 4--Botafogo9Rodada 1021 X 2013 X 185 X 86 X 233 X 115 X 1219 X 2510 X 2617 X 1611 X 14---Flamengo10Rodada 111 X 122 X 1523 X 35 X 98 X 1024 X 2520 X 114 X 1316 X 1826 X 2114 X 7--Fluminense11Rodada 1221 X 117 X 612 X 2218 X 57 X 119 X 238 X 316 X 1925 X 2014 X 413 X 24--Vasco12Rodada 1314 X 267 X 93 X 251 X 186 X 208 X 124 X 1711 X 1622 X 2315 X 513 X 19--Juventude13Rodada 1415 X 17 X 1326 X 35 X 1217 X 2418 X 24 X 1119 X 610 X 219 X 820 X 14--Bahia14Rodada 156 X 219 X 718 X 1723 X 414 X 219 X 2624 X 1022 X 1611 X 125 X 1513 X 5--Vitria15Rodada 1621 X 132 X 225 X 1417 X 78 X 154 X 2610 X 1912 X 316 X 2324 X 111 X 25--Grmio16Rodada 1722 X 132 X 147 X 419 X 116 X 241 X 1612 X 1026 X 2317 X 2515 X 213 X 18--Internacional17Rodada 1819 X 124 X 28 X 416 X 511 X 63 X 725 X 2113 X 1214 X 1720 X 2623 X 1810 X 22-Ponte Preta18Rodada 191 X 2019 X 244 X 917 X 57 X 218 X 825 X 1312 X 1415 X 2316 X 2621 X 226 X 3-Guarani19Rodada 203 X 116 X 1525 X 165 X 108 X 72 X 1723 X 139 X 2114 X 1926 X 2412 X 422 X 20-Gama20Rodada 211 X 2224 X 166 X 2519 X 513 X 82 X 2618 X 127 X 1017 X 321 X 420 X 239 X 14-Atltico-PR21Rodada 2225 X 185 X 324 X 2016 X 28 X 2610 X 1711 X 1319 X 94 X 623 X 2114 X 15--Coritiba22Rodada 2320 X 76 X 1226 X 1323 X 14 X 193 X 218 X 108 X 1614 X 2217 X 2125 X 1115 X 9-Paran23Rodada 244 X 51 X 2612 X 78 X 2321 X 249 X 202 X 1922 X 1715 X 311 X 1018 X 14--Santos24Rodada 2511 X 214 X 155 X 237 X 2226 X 2510 X 2014 X 249 X 1816 X 128 X 61 X 2--Gois25Rodada 261 X 79 X 34 X 1624 X 520 X 26 X 2118 X 2625 X 1423 X 1022 X 811 X 15--Paysandu26Rodada 2723 X 1119 X 188 X 255 X 615 X 713 X 173 X 41 X 1416 X 1024 X 2220 X 122 X 9-Rodada 282 X 51 X 1318 X 43 X 2410 X 97 X 612 X 2315 X 1617 X 2622 X 2521 X 1914 X 8-Rodada 2919 X 234 X 15 X 209 X 1113 X 1612 X 2415 X 1725 X 1026 X 226 X 1821 X 2--ANEXO A Tabela da Melhor Soluo Obtida pelo Trabalho Proposto Distncia Total Percorrida: 303143 km; (Exemplo de representao de um jogo na tabela abaixo: 21 X 5 ( Atltico-PR X Corinthians, sendo o mando de campo do Atltico-PR) 12345678910111213141516171819202122232425261-0586586586586586130143443443443415851372137217121712740740716100410041004658906282420-58658658658658613014344344344341585137213721712171274074071610041004100465890628243586586-000070542942942942998219621962111911199999101540840840872926293345865860-000705429429429429982196219621119111999991015408408408729262933558658600-007054294294294299821962196211191119999910154084084087292629336586586000-070542942942942998219621962111911199999101540840840872926293375865860000-705429429429429982196219621119111999991015408408408729262933813011301705705705705705-11441144114411444782682268247647677377316733003003007771493350094344344294294294294291144-000142616491649155315535115111148852852852501133832501043443442942942942942911440-001426164916491553155351151111488528528525011338325011434434429429429429429114400-014261649164915531553511511114885285285250113383250124344344294294294294291144000-1426164916491553155351151111488528528525011338325013158515859829829829829824781426142614261426-29632963131131105710571900584584584105417203727141372137219621962196219621962268216491649164916492963-0309030901982198214462385238523852034164321001513721372196219621962196219622682164916491649164929630-30903090198219821446238523852385203416432100161712171211191119111911191119476155315531553155313130903090-01177117720277117117111181184738541717121712111911191119111911194761553155315531553131309030900-11771177202771171171111811847385418740740999999999977351151151151110571982198211771177-09214764764761718352842197407409999999999773511511511511105719821982117711770-921476476476171835284220716716101510151015101510151673114811481148114819001446144620272027921921-136613661366108720921402110041004408408408408408300852852852852584238523857117114764761366-004811186319322100410044084084084084083008528528528525842385238571171147647613660-048111863193231004100440840840840840830085285285285258423852385711711476476136600-48111863193246586587272727272777501501501501105420342034118111811711711087481481481-9983035259069069269269269269261493133813381338133817201643164318741874835835209118611861186998-2017262824282429332933293329332933350032503250325032503727210021003854385428422842214031933193319330352017-ANEXO B Tabela das Distncias Entre as Sedes dos Clubes (A matriz abaixo simtrica, ou seja, dij = dji) (Obs: As distncias da tabela acima esto em km de rodovia. A numerao dos times segue a mesma legenda do ANEXO A) 29 ... - A X B 1 13 ... 1 Rodada/Jogo 29 ... + A X B 1 13 ... 1 Rodada/Jogo Escala s Escala s + A X B 29 ... + C X D 1 13 ... 1 Rodada/Jogo + C X D 29 ... + A X B 1 13 ... 1 Rodada/Jogo Escala s Escala s :CDMNjksVi789s|}  6 7 8 Q R T i ȹȘsj0JCJmHsHjCJUmHsHjCJUmHsH CJmHsHmHsHCJOJQJ^JaJmH sH "6CJOJQJ]^JaJmHsHCJOJQJ^JaJmHsH"5CJOJQJ\^JaJmHsHOJQJ^JaJmHsH5OJQJ\^JaJmHsH 6CJ]CJ%(NOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefgh$a$$a$}~hijkls8a S T i $a$$a$$a$$a$    0 S T } ~  3 F bdeFGZ[\]^ַֺ֭֭֠|v jCJjCJEHUj2dB CJUVmHsH jCJU 6CJ] 5CJ\ CJmH sH 6CJ]mHsHCJjCJUmHsHjCJUmHsH CJmHsH0JCJmHsHjCJUmHsHjCJUmHsH.   0 S {  9 S D cdsF`$a$$a$$a$F^gU!5#6#X#$$^%s&'o(((<)=)b*,,,,..$a$ ` & FV`$a$bc  458?PV;F|""""5#6#?(F(,V-i-......//00022222222222333^47788i9l999a:b::::mHsH jGU CJmHsH CJmH sH  5CJ\ 6CJH*]6CJ]mHsH CJmHsH CJmHsH 6CJ]CJH*CJF..222222 $$Ifa$$=$If^=`a$$a$$`a$2222222jPYD;;j8 $$Ifa$$ =$If^=`a$$=$If^=`a$$$IfTl\U9 t04 la2222222222PX$$IfTl\U9 t04 la $$Ifa$$=$If^=`a$ 223394:4^477jd_VRRPP$`a$$a$$$IfTl\U9 t04 la77889 9&9:::::::::::::::::: `$`a$$`a$::5;6;;;'<)<z<{<==g=h===========p?q?????????????????????zjX'B CJUVaJjE_CJEHUjG'B CJUVaJj]CJEHUjaB CJUVaJj,[CJEHUj~aB CJUVaJjYCJEHUj|aB CJUVaJ jCJU 6CJ] CJmHsHCJjCJUmHnHsHu-:::5;6;z<|<}<~<<<<<<<<<<<<<<<<<<g=h=`h==p???0@o@@*APAvAAAAqFGHHHHHHHDJEJ`$a$$a$$`a$?????-@.@1@2@4@Z@[@^@_@p@~@@@@@@@@@+A1AQARASAeAsAtAwAxAyAAAAAAAAAAAABBQCRCCCCCCC/D1D?D@DNDOD|D}DD`FhFFFF6CJ]aJ:CJCJH* jDCJH* jDCJCJH* jaCJ 6CJH*] 6CJ]CJ jCJUjaCJEHUEFFFFFFFFFMGVGWG`GGGGGGGHHZH_H}H~HHHHHHHHHMJSJZJ_JfJhJkJuJzJJJJ N#N$N&N'N6N7N8N9N;N?NCNFNNNrOtOҺңңҜ CJmHsHjCJUmHnHu6CJ]mH sH  CJmH sH  5CJ\ jMdCJUCJH*CJ j6CJ] 6CJ] ja6CJ]6CJ]aJ j6CJ]aJ=EJTJYJhJmJJJ N NNN N#N $$Ifa$$=$If^=`a$` $^`a$$`a$ #N$N&N6N8N:N;N?Nj\YG>>j Y $$Ifa$ =$If^=`$=$If^=`a$$$IfTl\U1 9 t04 la?N@NANBNCNFNGNHNP?$=$If^=`a$$$IfTl\U1 9 t04 la $$Ifa$$=$If^=`a$HNINJNNNNNvOPa[WUWMM`$$IfTl\U1 9 t04 la $$Ifa$tOOOOOZP_PPPPPPPPPPPPPPPQQQQRRR!R:RfEfLfTfVfWfafFf $[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$afcfdfmfsfzffffffffffffffffffffԴFf$[ &P#$/IfFf$$[ &P#$/Ifa$fffff2g?gAgBgKgggggghhhhhshhhhhhhhhhJiUiXiYiciiiiii j)j,j-j7jjjjjjjk k kkok|kkkkkkkkkTlZl]l^lhllllll1m;m>m?mImmmmmm nCJOJQJ^JaJCJaJ5CJOJQJ\^JaJCJOJQJ^JaJUffgggg g(g.g0g2g3g?gAgBgKgRgYg`gfgmgtg|gggg٨Ff$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$gggggggggggggggggghhhhhhh٤Ff!$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$hhh&h-h4h:hAhIhQhXh`hhhohqhshthhhhhhhhhԤFf-$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$Ff'hhhhhhhhhhhhhhhhi iii i'i/i7i>iFiٴFf3$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$FiHiJiKiUiXiYicijiqixiiiiiiiiiiiiiii٠԰Ff?Ff9$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$iiiiiiiiij jjjj j!j)j,j-j7j?jFjMjTj[jbj٬FfE$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$bjjjqjyjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjFfK$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$jjk k kkk#k)k0k7k=kEkMkUk]kekmkokpk|kkkkkFfWFfQ$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$kkkkkkkkkkkkkkkkkklllll$l,l3lٸFf]$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$3l;lClJlRlTlUlZl]l^lhlolwl~lllllllllllllFfc$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$llllllllmmmmm%m-m/m1m2m;m>m?mImPmWm_mFfo$[ &P#$/IfFfi$$[ &P#$/Ifa$_mfmmmsm{mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmn٨Ffu$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$n n n nnnnn#n+n2n9n@nHnPnXn_ngnmnsnunwnxn~nn٤Ff{ $[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$ nnnn#nwn~nnnnnnnnnPoSoTo^oooooppp+pbp|ppppppp q q q qRqSqUqqqq4r5r7rrrrrrr`sascssss(t)t+ttttu u uuuľװ5CJOJQJ\^JaJ jCJCJ 5CJ\CJ CJmHsHCJOJQJ^JaJCJaJ5CJOJQJ\^JaJCJOJQJ^JaJEnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnoooԜFf$[ &P#$/If$$[ &P#$/Ifa$Ff oo#o)o0o8o@oHoNoPoQoRoSoTo^odokoroyooooooooooFf$$[ &P#$/Ifa$ooooooooooooop pppppppppbpp$a$$a$FfFf$$[ &P#$/Ifa$p q qqqqqqqqqq"q%q(q+q.q1q4q7q:q=q@qCqFqIqLq$$&P#$/Ifa$$ G1a$LqOqRqSqUqWqYq]qaqeqiqmqrqvqzq~qqqqqqqqqqqqqFf!$$&P#$/Ifa$qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqrr rrrrr"rFf'$$&P#$/Ifa$"r'r+r/r4r5r7r;r?rArCrErGrIrMrQrUrYr]rarfrkrprurxr{rrrFf .$$&P#$/Ifa$rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrFfA4$$&P#$/Ifa$rrrrrrrrrss s s ssssss!s%s)s.s3s8s=s@sCsFfw:$$&P#$/Ifa$CsHsLsPsTsWs[s`sascsgsksmsosqsssusys}ssssssssssFf@$$&P#$/Ifa$ssssssssssssssssssssssssssttFfF$$&P#$/Ifa$tt tttttt#t(t)t+t0t5t9t=tAtEtItKtPtUtZt_tcthtmtqtFfM$$&P#$/Ifa$qtutyt}tttttttttttttttttttttttttFfOS$$&P#$/Ifa$ttttttttttuu u uuuuu 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