FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN …

  • Docx File 168.69KByte



2014FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMAKelompok 717240254410075PRAKATAPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan pertolonganNya kami dapat menyelesaiakan buku bahan ajar ini dengan materi “Fungsi,persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma”. Meskipun banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya,tapi kami berhasil menyelesaikannya dengan baik. Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada dosen pembimbing Bapak Dede Trie Kurniawan yang telah membantu kami dalam mengerjakan proyek buku bahan ajar ini. Kami juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman mahasiswa yang juga sudah memberi kontribusi baik langsung maupun tidak langsung dalam pembuatan buku ajar ini.Akhir kata semoga buku ajar ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penyusun pada khususnya, kami menyadari bahwa dalam pembuatan buku ajar ini masih jauh dari sempurna untuk itu kami menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi perbaikan kearah kesempurnaan. Akhir kata kami sampaikan terimakasih. Tim PenyusunDAFTAR ISIPRAKATA iDAFTAR ISIiiKata-kata motivasiiiiTujuan pembelajaranivMateri Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen Fungsi Eksponen1 Tranformasi pada fungsi eksponen2Menentukan persamaan fungsi eksponen2Persamaan Eksponen3Sistem Persamaan Eksponen4Pertidaksamaan Eksponen4Sistem Pertidaksamaan Eksponen5Contoh soal5Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma Pengertian Logaritma Suatu Bilangan dan Sifat-sifat Logaritma10Pengertian Logaritma suatu Bilangan10Fungsi Logaritma11Persamaan Logaritma13Sistem Persamaan Logaritma14Pertidaksamaan Logaritma14Aplikasi Model Matematika Berbentuk Logaritma14Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari15Soal latihan 16Biodata kelompok17Daftar PustakaLelah dalam belajar itu hal yang wajar, tetapi jangan sampai menyerah dalam belajar.Ilmu yang diperoleh dari sekolah lebih penting dari pada ijazah.Sikap positif adalah aset berharga dalam belajar.Hasil dari sebuah proses belajar bukan hanya pengetahuan, melainkan juga tindakan.Allah akan meninggikan derajat orang yang beriman dan berilmu.Ilmu tanpa budi adalah kerapuhan jiwa.Bagi pelajar, waktu adalah ilmu.Menuntut ilmu adalah keharusan.KATA KATA MOTIVASITujuan pendidikan bukan hanya pengetahuannya, akan tetapi juga tingkah laku dan perbuatannya.Pedang akan bertakar apabila tidak diasah, manusia yang tidak belajar akan tertinggal.Ilmu adlah investasi berharga untuk masa depan.Mengoreksi diri sendiri ialah modal dari suatu tindakan.Pertanyaan adalah unsur penting dalam belajar.Ilmu tak akan habis jika dibagi, tidak seperti harta.Dari pada menghias diri dengan intan berlian, lebih baik membekali diri dengan ilmu pengetahuan.Ilmu tanpa budi adalah kerapuhan jiwa.Ilmu bagaikan kunci emas kehidupan.Ilmu tanpa agama lumpuh, agama tanpa ilmu buta.Kebiasaan menyontek dapat meningkatkan kemalasan dalam belajar.Belajar bukan hanya sekedar untuk mendapatkan nilai yang baik.Ilmu tak akan didapat hanya dengan bermalas-malasan.Pendidikan memunculkan keinginan guru.Gagasan mampu menggerakan pikiran.Kecerdasan bukanlah ganjaran, tetapi konsekuensi.Belajar bukan hanya sekedar membaca, melainkan juga memahami.Ilmu ringan dibawa, namun besar manfaatnya.TUJUAN PEMBELAJARANMatematika diajarkan di sekolah membawa misi yang sangat penting, yaitu mendukung ketercapaian tujuan pendidikan nasional. Secara umum tujuan pendidikan matematika di sekolah dapat digolongkan menjadi :1.????? Tujuan yang bersifat formal, menekankan kepada menata penalaran dan membentuk kepribadian siswa2.????? Tujuan yang bersifat material menekankan kepada kemampuan memecahkan masalah dan menerapkan matematika.Secara lebih terinci, tujuan pembelajaran matematika dipaparkan pada buku standar kompetensi mata pelajaran matematika sebagai berikut:1.????? Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi,2.????? Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba,3.????? Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah,4.????? Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasanFUNGSI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENFUNGSI EKSPONENFungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar, yaitu fungsi yang tidak dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.Fungsi transenden yang telah kita pelajari adalah fungsi trigonometri. Fungsi fungsi transenden yang akan kita pelajari adalah fungsi eksponen. Dalam pembahasan fungsi eksponen kita akan melibatkan teorema-teorema berikut ini.Teorema:Jika a, b, m, n dan p masing-masing bilangan real, maka:am x an=am+nam : an =am-n, a ≠0(am )n=amn(ambn) =amp bnp ambna. Jika a >1 dan m adalah bilangan real positif, maka am >1b. Jika 0 >a <1 dan m bilangan real positif, maka am<13. a. Jika a >1 dan m n adalah bilangan real, sehingga m<n, maka am x anb. Jika 0 >a <1 dan m bilangan real, sehingga m<n, maka am >anDefinisi:Fungsi eksponen dengan bilangan dasar ( bilangan pokok atau basis ) a, dengan a >0 dan a≠I mempunyai bentuk umum:f :x → ax atau y =f x= axDengan:a dinamakan bilangan dasar (pokok atau basis) dengan ketentuan:a >0 dan a ≠1 (a>1 atau 0 <a <1)Bila a =1, fungsi eksponen menjadi =1x =1. Karena itu, dalam definisi tersebut disyaratkan a ≠1x dinamakan variabel (peubah) bebas dan himpunan dari variabel x dinamakan daerah asal ( daerah definisi / domain/ wilayah) fungsi f, ditulis Df = x | x ∈Ry dinamakan variabel (peubah) tak bebas dan himpunan dari semua variabel y dinamakan daerah hasil (range daerah nilai/ jelajah), fungsi f ditulis Rf = y | y >0 dan y ∈Rf x= ax dinamakan aturan atau rumus untuk fungsi eksponen baku (standar).Transformasi pada Fungsi EksponenDiberikan fungsi eksponen y =fx= ax, maka grafik dari:y =fx-k, k >0, menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kanan.y =fx +k, k >0 menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kiri.y =fx +k, k >0 menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke atas.y =fx -k, k >0 menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke bawah.y =k fx, |k| >0 menggambarkan perbesaran atau bentangan ( stertching dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Yy =k fx, 0 <k<1 menggambarkan perbesaran penciutan (shrinkking dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Yy = -fx, menggambarkan refleksi terhadap sumbu Xy = f -x, menggambarkan refleksi terhadap sumbu Yy = fkx, k>1 menggambarkan perbesaran penciutan (shrinking dilation) sebesar faktor 1k sepanjang sumbu Xy = fkx, 0 <k<1 menggambarkan perbesaran rengangan atau bentangan (stretching dilation) sebesar faktor 1k sepanjang sumbu XMenentukan Persamaan Fungsi EksponenSeringkali kita menjumpai grafik fungsi eksponen dengan beberapa keterangan seperti beberapa titik atau titik dan asimtot datar. Untuk menentukan persamaan grafik fungsi eksponen ini. Biasanya melibatkan sistem persamaan yang dipecahkan secara simultan.PERSAMAAN EKSPONENDefinisi:Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel.Persamaan Eksponen Berbentuk af(x)= anTeorema: Jika afx= an, dengan a >0 dan a≠1, maka fx=nPersamaan Eksponen Berbentuk af(x)=1Teorema: Jika afx= 1, dengan a >0 dan a≠1, maka fx=0Persamaan Eksponen Berbentuk af(x)=ag(x)Teorema:Jika af(x)=ag(x), dengan dengan a >0 dan a≠1, maka fx=g(x)Persamaan Eksponen Berbentuk af(x)=bf(x)Teorema:Jikaaf(x)=bf(x), dengan a >0 dan a ≠1, b >0, dan b ≠1, dan a ≠b, maka fx=0Persamaan Eksponen Berbentuk {hx}f(x)= {hx}g(x)Teorema:Jika: {hx}f(x)= {hx}g(x), maka kemungkinannya adalah:hx=0 asalkan fx dan gx keduanya positif fx>0 dan gx>0hx=1hx=-1, asalkan fx dan gx keduanya ganjil atau keduanya genap ((-1)fx-gx=1)fx = gx asalkan hx ≠0 dan hx≠1Persamaan Eksponen Berbentuk {hx}f(x0=1Teorema:Jika {hx}f(x0=1, maka kemungkinannya adalah:fx=0 , hx≠0hx=1hx=1, fx = ± pqDengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap.Persamaan Eksponen Berbentuk af(x)= bg(x)Teorema:Jika af(x)= bg(x), dengan a>0, a≠1, b>0,b≠1, maka fxloga=gxlogbPersamaan Eksponen Berbentuk af(x)=bTeorema: Jika af(x)=b, dengan a>0,b>0, dan a≠1 maka f(x)=logblog a=alogbPersamaan Eksponen Berbentuk A{afx}2+B{afx}+C =0Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk A{afx}2+B{afx}+C =0 adalah sebagai berikut:Misalkan af(x)=y maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan:Ay2+By+C=0Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di dapat dua akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan af(x)=y, sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta.SISTEM PERSAMAAN EKSPONENSekelompok persamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan dinamakan sistem persamaan eksponen.PERTIDAKSAMAAN EKSPONENDefinisi:Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.Teorema:Jika a>1 dan afx≥agx, maka fx≥gxJika a>1 dan afx≤agx, maka fx≤gxJika 0<a<1 dan afx≥agx, maka fx≤gxJika 0<a<1 dan afx≤agx, maka fx≥gxPertidaksamaan eksponen berbentuk A{afx}2+B{afx}+C <0 (tanda ketidaksamaan “<” dapat di ganti dengan”≤,>, atau "≥", diselesaikan sebagai berikut:Misalkan af(x)=y, maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan Ay2+By+C<0Dengan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dalam y, maka kita akan mendapatkan maksimal dua pertidaksamaan dan minimal tidak ada.Subtitusikan af(x)=y ke pertidaksamaan semula, sehingga jika terdapat dua pertidaksamaan maka penyelesaiannya adalah irisan dari penyelesaian setiap pertidaksamaan itu.SISTEM PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSekelompok pertidaksamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan(serentak) dinamakan sistem pertidaksamaan eksponen.Contoh soal dan pembahasannyaPersamaan eksponenPersamaan eksponen berbentuk afx=anCarilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:102x-3=100.000Jawab: 102x-3=100.000102x-3=1052x-3=5x=4Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{4}4-x=322Jawab: 4-x=322(22)-x=2512-2x=512x=-234Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{-234} 3x2-6x=1243Jawab: 3x2-6x=12433x2-6x=3-5x2-6x=-5x2-6x+5=0x-1x-5=0x=1 atau x=5Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{1,5}Persamaan eksponen berbentuk afx=1Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:375-x=1Jawab: 375-x=15-x=0x=5Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{5}64x2-4x-12=1Jawab: 64x2-4x-12=1x2-4x-12=0x+2x-6=0x=-2=atau x=6Jadi himpunan penyelesaian adalah {-2,6}(181)10+3x-x2=1Jawab: (181)10+3x-x2=1 10+3x-x25-x2+x=0x=5 atau x=-2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{5,-2}Persamaan eksponen berbentuk af(x)=ag(x)Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:5x2+6x-42=312512-xJawab: 5x2+6x-42=312512-x5x2+6x-42=560-5xx2+6x-42=60-5xx2+11x-102=0x+17x-6=0x=-17 atau x=6Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-17,6}136x63x-4=62x-3Jawab: 63x-4=62x-33x-6=2x-3x=3Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:{3}Persamaan eksponen berbentuk afx=bfxCarilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:52x-6=32x-6Jawab: 52x-6=32x-62x-6=0x=3Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {3}64x2-2x+1 =625x2-2x+1Jawab: 64x2-2x+1 =625x2-2x+1x2-2x+1=0=(x-1)2=0x=1Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{1}5x2+x-42=4x2+x-42Jawab: x2+x-42=0x+7x-6=0x=-7 atau x=6Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-7,6}Persamaan eksponen berbentuk {h(x)}fx={h(x)}g(x)Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:(x-10)x2-9=(x-10)3-xJawab: Persamaan (x-10)x2-9=(x-10)3-x sepadan dengan persamaan eksponen berbentuk{h(x)}fx={h(x)}g(x), maka:hx=x-10fx=x2-9, dangx=3-xHimpunan penyelesaiannya ditentukan oleh berbagai kemungkinan berikut:hx=0 , x-10=0 , x=10Nilai x=10 ini harus disubtitusikan ke fxdan gxf10=102-9=91>0g10=3-10=-7<0Karena untuk x=10, fx>0 dan gx<0,maka x=10 bukan penyelesaiannya.hx=1 , x-10=1 , x=11hx=-1 , x-10=-1 , x=9Nilai x=9 harus disumtitusikan ke fxdan gxf9=92-9=72 genapg9=3-9=-6 genap(-1)72=(-1)-6Karena untuk x=9 mak fx dan gx keduanya genap sehingga x=9Adalah penyelesaiannya.f(x)=gxx2-9=3-xx2+x-12=0x+4x-3=0x=-4 atau x=3Nilai-nilai x=-4 dan x=3 harus disubtitusikan ke hxh-4=-4-10=-14≠0≠1h3=3-10=-7≠0≠1Karena untuk x=-4 dan x=3 maka hx≠0 dan hx≠1Sehingga x=-4 dan x=3 adalah penyelesaiannya.Dari keempat kemungkinan tersebut diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah {-4,3,9,11}Persamaan eksponen berbentuk {hxfx=1Carilah himpunan penyelesaian dari (2x+3)3x+2=1Jawab: Persamaan 2x+3)3x+2=1 sepadan dengan persamaan eksponen berbentuk hxfx=1 maka diperolehhx=2x+3 dan fx=3x+2Himpunan penyelesaiannya ditentukan oleh berbagai kemungkinan berikut ini.\3x+2=0 x=-23 Nilai x ini harus disubtitusikan ke hx, h-23=2-23+3=53≠0Karena untuk x=-23, maka hx≠0maka x=-23 adlah penyelesaiannya.2x+3=1 , x=-12x+3=-1 , x=-2Nilai , x=-2 harus disubtitusikan ke fx. maka diperoleh f-2=3-2+2=-4 bilangan genapKarena untuk x=-2 maka fx genap. Sehingga x=-2 adalah penyelesaiannya.Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-23,,-1, -2}Persamaan eksponen berbentuk afx=bfxTentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:3x=7x-2Jawab: 3x=7x-2Log3x=log7x-23logx=x-2log7xlog7-xlog3=2log7x(log7-log3)=2log7x=2log7log7-log3Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x=2log7log7-log3Persamaan eksponen berbentuk afx=bCarilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini:. a. 2x-7=6Jawab: 2x-7=6log2x-7=log6(x-7)log2=log6x-7=log6log2x=7+log6log2=7+2log6Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7+2log6}Persamaan eksponen berbentuk A{afx} 2+B{af(x)}+C=0Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:32x-2 . 3x+1-27=0Jawab: 32x-2 . 3x+1-27=0Misalkan 3x=y maka kita memperoleh y2-6y-27=0(y-9)(y+3)=0y=9 atau y=-33x=9 atau 3x=-3 ditolak3x=32x=2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}Pertidaksamaan EksponenTentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.104x-3≥100.000Jawab: 104x-3≥100.000104x-3≥1054x-3≥54x≥8x≥2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x≥2}FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMAPENGERTIAN LOGARITMA SUATU BILANGAN DAN SIFAT-SIFAT LOGARITMAPengertian Logaritma Suatu BilanganLogaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok (basis/dasar), sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah di ketahui.gloga =n Jika dan hanya jika gn=aDengan:G dinamakan bilangan pokok (basis/dasar) logaritma dengan 0<g<1 atau g>1g≠1 dan g>0Jika g =10, bilangan pokok ini biasanya tidak ditulis. Contoh: 10loga ditulis log a,10log3,dan sebagainya.Jika g = e, dengan e =2,7128, elog a ditulis In a( dibaca “logaritma natural a” atau “lon a”contoh : elog 5 ditulis In 5 dan sebagainya.Catatan : Notasi glog a dapat ditulis logg a.jadi, 5log 3 ditulis log5 3 dan sebagainya.a dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan a > 0.n dinamakan hasil logaritma (merupakan eksponen Dari g yang menghasilkan a)g log a dibaca logaritma a dengan bilangan pokok g sering kali dibaca “g log a”Logaritma a dengan bilangan pokok g yang memangkatkan g sama dengan a.g glog a = aDefinisi ini dapat dijelaskan sebagai berikut Jika n= g loga disubtitusikan ke persamaan gn = a maka diperoleh g glog a= a.Mudah dipahami bahwa :jika a=gn disubstitusikan ke persamaan n = glog a, maka diperoleh glog gn=njika a= g1 disubstitusikan ke persamaan 1 = glog a, maka diperoleh glog g1 =1 atau glog g = 1jika 1 = g0 disubstitusikan ke persamaan 0 = glog 1, maka diperoleh glog g0=0perluasan :gmgloga= g gloga m = amgmgn log a = gm glogan= gg log amn=amng gnlogam=gglog amn= amnSifat – sifat logaritmaJika g > 0, g ≠1 dan a,b adalah bilangan real positif maka glog ab = glog a + glog b.Jika g > 0, g ≠1 dan ab adalah bilangan real positif maka glog ab=glog a – glog bJika g >0, , g ≠1, a bilangan real positif dan n suatu bilangan real maka glog an=n glog a Jika g > 0 , g ≠1, a suatu bilangan positif, m suatu bilangan real, n bilangan asli dengan n > 1 makaglog nam= mn glog a gnlog am = mn glog agnlog an= glog ajika a > 1, a≠1, b > 0 b≠1 dan b,c bilangan real positif maka alog b X blog c = alog cjika a > 0, a≠1, p > 0 p≠1 a, dan b bilangan real positif maka alog b = plogb ploga Fungsi logaritma Fungsi eksponen adalah fungsi yang berkorespondensi satu-satu, sehingga fungsi eksponen mempunyai invers. Fungsi invers inilah yang dianamakan logaritma. Fungsi invers dari fungsi eksponen y = ax ekuivalen dengan x = alog y sehingga f-1=alogy Ganti variabl y dengan x sehingga diperoleh f-1=alogxBentuk persamaan terakhir dapat kita tulis :y = alog xjadi fungsi invers dari fungsi eksponen y = ax dengan a>0 dan a≠1 adalah fungsi logaritma y = alogxDefinisifungsi logaritma dengan bilangan pokok a dimana a> 0 dan a≠1, didefinisikan sebagai f :x →logxatau y=fx= alogxFungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠1 dikenal sebagai invers dari fungsi eksponen y = ax dengan a>0 dan a ≠1.Perhatikan fungsi logaritma y = f(x) = alog xF(x) = alog x dinamakan aturan atau rumus untuk fungsi logaritma baku (standar)x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas.a adalah bilangan pokok (basis/dasar) untuk fungsi logaritma f(x) = alog x dengan ketentuan a>0 dan a ≠1. Domain fungsi logaritma y = f(x) = alog x adalah Df=x|x>0 dan x∈RRange fungsi logaritma y = f(x) = alog x adalah Rf=y|y ∈RGrafik Fungsi LogaritmaDitinjau dari bilangan pokoknya grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x dapat dikelompokan menjadi 2 macam yaitu : grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok a>1dan grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok 0 < a<1Untuk menggambar grafik atau kurva fungsi logaritma y = f(x) = alog x ditempuh prosedur sebagai berikut:Buatlah tabel yang menunjukan relasi antara x dengan y =alog xGambarkan setiap titik (x,y) yang diperoleh pada bidang kartesiusHubungkan setiap titik (x,y) yang diperoleh dari langkah b dengan kurva.Sehingga diperoleh grafik atau kurfa fungsi logaritma y = f(x) = alog xSifat – sifat fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan bilangan pokok a>10 < a<1 sebagai berikutDomain fungsi f adalah Df=x|x>0 dan x∈R atau Df=0,∞ Range fungsi f adalah Rf = y|y ∈R atau Rf = RRange f kontinu pada 0,∞Fungsi f monoton naik untuk a>1Fungsi f monoton turun untuk 0 < a<1Jika a>1 maka nilai alog x positif untuk a>1 dan negatif untuk 0 < a<1Jika 0 < a<1 maka nilai alog x positif untuk 0 < x<1 dan negatif a>1Nilai alog x tidak didefinisikan untuk x yang tidak positifFungsi logaritma selalu memotong sumbu x dititik (1,0) dengan kata lain alog x =0?x=1alog x = 1 jika dan hanya jika x=asumbu y asimtot tegakf ungsi f merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satugrafik fungsi logaritma y = alog x untuk a>1 dengan fungsi logaritma y = alog x dan untuk 0 < a<1dengan fungsi logaritmanya log12x adalah setangkup simetris terhadap sumbu x.Contoh soal :Carilah invers fungsi eksponen f : (-∞,∞)→R dengan fx: 32x-1Jawab : y=fx=32x-1Pindahkan x dan y, maka diperolehx=32y-132y=x=13log 32y= 3log x+12y = 3log x+1y = 12 3log x+1Jadi f-1x= 12 3log x+13. Transformasi Pada Fungsi LogaritmaDiberikan fungsi logaritma y = alog x maka grafik dari :y=fx-k,k>0 menggambarkan sebuah translasi k satuan dalam arah sumbu x ke kanan .y=fx+k,k>0 menggambarkan sebuah translasi k satuan dalam arah sumbu x ke kiri .y=fx+k,k>0 menggambarkan sebuah translasi k satuan dalam arah sumbu x ke atas .y=fx-k,k>0 menggambarkan sebuah translasi k satuan dalam arah sumbu x ke bawah .y=kfx,|k|>1 menggambarkan renggangan denagn faktor k dalam arah sumbu Yy=kfx,0<|k|>1 menggambarkan penciutan denagn faktor k dalam arah sumbu Y.y=-f(x) menggambarkan refleksi terhadap sumbu Xy=f(-x) menggambarkan refleksi terhadap sumbu Yy=fkx, k<1 menggambarkan penciutan dengan faktor 1k dalam arah sumbu Xy=fkx,0< k<1 menggambarkan penciutan dengan faktor 1k dalam arah sumbu XMenentukan persamaan Fungsi LogaritmaSeringkali kita menjumpai grafik fungsi logaritma dengan beberapaketerangan seperti beberapa titik atau tituik dan asimtot tegak. Selain itu kita dapat menentukan persamaan grafik fungsi logaritma dengan melibatkan persamaan-persamaanPersamaan LogaritmaDefinisi Pesamaan logaritma adalah persamaan dengan nilai variabel atau peubah tidak diketahui dalam logaritma.Persamaan logaritma berbentuk alog cJika alog fx= alog c, dengan fx > 0 maka fx= cPersamaan logaritma berbentuk alog f(x)=blog fxJika alog f(x)=blog fx, dengan a≠b, maka fx=1Persamaan logaritma berbentuk alog f(x)=blog gxJika alog f(x)=blog gxdengan fx>0 dan gx>0 maka f(x)=g(x)Persamaan logaritma berbentuk h(x)log g(x) = h(x)log g(x)Jika h(x)log gx = h(x)log gxdengan f(x) >0, g(x) >0, h(x)>0dan hx≠1 maka fx=gxPersamaan logaritma berbentuk A alog2 x + B alog x + C = 0Persamaan A alog2 x + B alog x + C = 0 adalah persamaan kuadrat sehingga solusinya dapat digunakan metode faktorisasi melengkapi kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.Teorema Jika x1dan x2adalah akar-akar persamaan A alog2 x + B alog x + C = 0 maka hasil kali akar-akarnya x1x2=a-baContoh soal:Carilah himpunan penyelesaian dari 3log 12x=3log 3Jawab : 3log 12x=3log 312x=3x = 6 Carilah himpunan penyelesaian dari 5log (16 – 5x) = (16 – 5x)Jawab : 5log (16 – 5x) = (16 – 5x) 16 - 5x = 1 5x = 15 x = 3 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari 4log (x + 4) – 2log (x - 2) > 0x+4>0?x>-4 ....... (1) x-2>0?x>2 ........ (2)Ubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma4log (x + 4) – 2log (x - 2) > 04log (x + 4) – 2log (x - 2) > 4log 14log x+4x-22>1x+4x-22 -1 > 0x+4-x2+4x-4x-22>0-x2+5xx-22 > 0Sistem persamaan logaritmaSekelompok persamaan logaritma yang mempunyai penyelesaian simultan (serentak) dinamakan sistem persamaan logaritma.Pertidaksamaan logaritmaPertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan dengan nilai variabel atau peubah tidak diketahui dalam logaritma.TeoremaJika a>1 dan alogfx≥alogg(x), maka fx≥gx>0Jika a>1 dan alogfx≤alogg(x), maka fx≤gx>0Jika 0<a<1 dan alogfx≥alogg(x), maka 0<fx≤gxJika 0<a<1 dan alogfx≤alogg(x), maka fx≥gx>0Aplikasi model matematika berbentuk fungsi logaritmaAplikasi model matematika berbentuk fungsi logaritma meliputi pertumbuhan dan peluruhan yang dikenal sebagai pertumbuhan peluruhan secara logaritmik.Uji KompetensiLATIHAN Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 7x2-3x-10=49x+2Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini (813)2x2+5x-12=1Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 7x2-3x-10=11x2-3x-10Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 32x+1-43x+1+9=0Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 61252x2-12x+8 =1625Carilah invers fungsi eksponen f : (-∞,∞)→R dengan gx: 4 2log (3 – x) + 1Carilah himpunan penyelesaian dari 8log x2+x)= 8log 12Carilah himpunan penyelesaian dari log x-13x+18 = -1Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan logaritma berikut 2log x2-2x-23= 3log x2-2x-23 Tentukan himpunan dari pertidaksamaan logx2+4x+4≤log (5x+10)KUNCI JAWABAN7x2-3x-10=72x+27x2-3x-10=72x+4 x2-3x-10=2x+4 x2-5x-14=0 x-7x+2=0 x=7 x=-2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7,-2}(813)2x2+5x-12=1(813)2x2+5x-12=81302x2+5x-12=0 2x-3x+4=0 x=32 x=-4Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x=32 x=-4}7x2-3x-10=11x2-3x-10x2-3x-10 x-5x+2 x=5 x=-2 Jadi himpinan penyelsaiannya adalah {5,-2}32x+1-43x+1+9=032x. 31-43x.31+9=0 Misalkan : 3x=FF2.3-4F-3+9=0 3F2-12F+9 (:3)F2-4F+3=0 (F-1) (F-3)=0F=1 F=3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}6(125)2x2-12x+8 =1625 6(125)2x2-12x+8 =1625 6(53)2x2-12x+8 =154 656x2-36x+24 = 154 56x2-36x+246 =5-4 6x2-36x+246 =-4 x2-6x+4+4=0 x2-6x+8=0 x-4x-2=0 x=4 x=2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4,2}(-∞,∞)→R dengan gx: 4 2log (3 – x) + 1y =g(x) = 4 2log (3 – x) + 1tukarkan x dan y x = 4 2log (3 – x) + 1x – 1 = 4 2log (3 – x) + 1 14 x-1 = 2log (3 – y)2 14 x-1 = 3 – yy = 3 - 2 14 x-1jadi g-1x=3- 2 14 x-18log (x2+x)= 8log 12x2+x = 12x2+x- 12 = 0x+4(x?3) =0x= -4 atau x = 3log x-13x+18 = -1log x-13x+18 = log110x-13x+18 = 11010x -10 = 3x + 187x = 28x = 42log x2-2x-23= 3log x2-2x-23x2-2x-23= 1x2-2x-24=0(x + 4)(x – 6)Jadi hp nya adalah -4,6logx2+4x+4≤log (5x+10)logx2+4x+4>0x+2 2>0x∈R, x≠-25x+10>0x > -2 logx2+4x+4≤log (5x+10)x2+4x+4 ≤ 5x+10x2-x-6≤0x-3x+2≤0-2≤x≤3jadi hp nya x|-2<x≤3APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARISebelum ada kalkulator elektronik, logaritma digunakan sepanjang waktu untuk melakukan perhitungan eksponensial. Jadi para ilmuwan dan insinyur dari semua jenis memanfaatkan sering menggunakan. Misalnya, jika Anda ingin menemukan 4 pangkat 3.5, Anda akan menggunakan fakta bahwa:4 ^ (3.5) = 10 Log ^ [4 ^ 3.5] = 10 ^ (3.5 * log (4))Anda melihat log (4) dalam tabel log Anda, kalikan dengan 3,5, kemudian gunakan tabel log untuk menemukan antilog pada (10 pangkat jawaban Anda). Hari ini, kita biasanya membiarkan kalkulator melakukan pekerjaan itu, tapi bahkan kalkulator menggunakan fakta-fakta seperti ini untuk melakukan komputasi.Saya telah membaca bahwa penggunaan logaritma membuat begitu banyak hal mungkin bahwa itu adalah salah satu kontribusi utama dari matematika ke dunia ilmu pengetahuan. Misalnya, sebelum ada logaritma, para astronom merasa kesulitan dengan penjumlahan ataupun perkalian yang begitu besar.? Dengan munculnya penggunaan logaritma, perkalian ataupun perpangkatan yang besar menjadi hal yang sederhana. Dalam kehidupan nyata, logaritma sangat diperlukan bagi ilmu pengetahuan. Dalam sejarah ilmu pengetahuan, pengembangan tabel logaritma dan penggunaannya merupakan prestasi yang luar biasa.Para astronom masih menggunakan skala logaritmik untuk sumbu grafik dan diagram. Penggunaan logaritma yang paling jelas adalah pada penghitungan skala Richter untuk gempa bumi dan desibel. Logaritma juga diaplikasikan dalam penghitungan frekuensi musik.Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang biologi, yaitu untuk mengukur laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan keuangan (untuk menghitung bunga majemuk).lefttopNama : Filly ApriyantiTempat tanggal lahir: Majalengka,19 April 1995 Alamat: Jl raya parungjaya blok pahing Rt 001 Rw 002 No.26 Desa parungjaya Kec. Leuwimunding Kab. MajalengkaHobby: Belajar Sambil Dengerin MusikMoto Hidup: Tetap bersyukur dengan apa yang sudah Allah Swt kasih Nama : Putri AndiniTempat tanggal lahir: Majalengka, 08 Oktober 1994 Alamat: Jl Binaraga No 29 Rt 001 Rw 001 Desa Bongas Wetan Kec. Sumberjaya Kab. Majalengka Hobby: Makan,Baca Moto Hidup: Berusaha yang terbaik dan bersyukur dengan hasilnya-64770215900 Nama : Ade RiastutiTempat tanggal lahir:Majalengka,27 Juni 1995Alamat: Ds. Cisetu Kec. Rajagaluh Kab. MajalengkaHobby: Belajar Sambil Dengerin MusikMoto Hidup: Berani Bermimpi Berani MewujudkanSemua anggota kelompok ikut mengerjakan dengan kompak dan pembagian tugas dilakukan secara merata. Penyelesaian buku ini juga dilakukan saat waktu libur dan saat tidak ada jam kuliah.Daftar PustakaDrs. Husein tampomas.matematika XII.Tanggerang.:Erlangga.2007 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download