PROBABILIDADE, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS, DISTRIBUIÇÃO DE ... - ECE/CIS

PROBABILIDADE, VARI?VEIS ALEAT?RIAS, DISTRIBUI??O DE PROBABILIDADES E GERA??O

ALEAT?RIA

Conceitos sob a ?tica de Avalia??o de Desempenho de Sistemas Marcos Portnoi

Edi??o 26.6.2010

Universidade Salvador ? UNIFACS 2005

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Lista de Figuras

Figura 1: Vis?o Sist?mica da Estat?stica. .................................................................................. 5 Figura 2: Probabilidade combinada de eventos. Para a probabilidade de E ou F, os eventos ambos simultaneamente t?m de ser subtra?dos........................................................................... 7 Figura 3: Mapeamento de eventos em n?meros reais................................................................ 9 Figura 4: Espa?o amostral do lan?amento de duas moedas. ................................................... 10 Figura 5: Gr?ficos da pmf e CDF. ........................................................................................... 12 Figura 6: Espa?o amostral "n?mero de chamadas que chegaram a uma central telef?nica num tempo t". ................................................................................................................................... 16 Figura 7: Gr?ficos para as Distribui??es de Poisson, com v?rias m?dias diferentes............... 17 Figura 8: Rela??o entre chegadas e tempos de interchegada................................................... 19 Figura 9: Gr?ficos da pdf e CDF para distribui??o exponencial. ............................................ 20 Figura 10: Tamanho do ciclo, tamanho da cauda e per?odo de um gerador de n?meros aleat?rios................................................................................................................................... 24 Figura 11: Transforma??o inversa da CDF. ............................................................................ 25 Figura 12: Gr?fico representativo da simula??o...................................................................... 28

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Lista de Tabelas

Tabela 1: Resultados do experimento "lan?amento de duas moedas"..................................... 10 Tabela 2: Probabilidade de ocorr?ncia dos resultados do lan?amento de duas moedas.......... 10 Tabela 3: Vari?vel aleat?ria "n?mero de caras" no lan?amento de duas moedas. .................. 11 Tabela 4: Probabilidade relacionada ? vari?vel aleat?ria "n?mero de caras".......................... 11 Tabela 5: Resumo das caracter?sticas da Distribui??o de Poisson. ......................................... 17 Tabela 6: Resumo das caracter?sticas da Distribui??o Exponencial com par?metro UT/evento. .................................................................................................................................................. 20 Tabela 7: Resumo das caracter?sticas da Distribui??o Exponencial com par?metro evento/UT. .................................................................................................................................................. 20 Tabela 8: C?lculo de valores para as vari?veis aleat?rias, usando Transforma??o Inversa. ... 28

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Sum?rio

Introdu??o ............................................................................................................................... 5 Estat?stica e Probabilidade...................................................................................................... 5

Vis?o Sist?mica da Estat?stica ............................................................................................ 5 Defini??es B?sicas.............................................................................................................. 6 Axiomas da Probabilidade.................................................................................................. 6 Combina??o de Eventos ..................................................................................................... 6

Regras ............................................................................................................................. 7 Probabilidade Condicional ............................................................................................. 7 Regras da Multiplica??o ................................................................................................. 8 Vari?vel Aleat?ria............................................................................................................... 8 Defini??o ........................................................................................................................ 8 Expressando em N?meros os Resultados do Experimento ............................................ 9 A Fun??o "Vari?vel Aleat?ria" ...................................................................................... 9 Exemplo de V.A.: Lan?amento de duas moedas ......................................................... 10 Formaliza??o ................................................................................................................ 12 Quest?es ....................................................................................................................... 12 Tipos de Vari?veis Aleat?rias ...................................................................................... 13 Exerc?cio ........................................................................................................................... 14 Solu??o ......................................................................................................................... 14 Classifica??o das Distribui??es de Probabilidades............................................................... 15 Modelos Matem?ticos que Representam Distribui??es de Probabilidades .......................... 15 Conceito introdut?rio.................................................................................................... 15 O Modelo de Poisson............................................................................................................ 16 Exerc?cio ........................................................................................................................... 18 Solu??o ......................................................................................................................... 18 O Modelo Exponencial ......................................................................................................... 19 Exerc?cio ........................................................................................................................... 21 Solu??o ......................................................................................................................... 21 Gera??o de N?meros Aleat?rios........................................................................................... 22 Gerador de N?meros Aleat?rios ....................................................................................... 22 Semente ........................................................................................................................ 23 N?meros Pseudo-Aleat?rios ......................................................................................... 23 Tamanho do Ciclo, Cauda (Tail) e Per?odo .................................................................. 23 Propriedades Desejadas de uma Fun??o Geradora de N?meros Aleat?rios................. 24 Gera??o de Vari?veis Aleat?rias Randomicamente ............................................................. 25 Transforma??o Inversa ..................................................................................................... 25 Gera??o de Valores Exponencialmente Distribu?dos ................................................... 25 Uso da T?cnica em Simula??o ..................................................................................... 26 Exerc?cio ........................................................................................................................... 27 Solu??o ......................................................................................................................... 27 Refer?ncias ........................................................................................................................... 30

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Introdu??o

Este documento apresenta uma revis?o de conceitos de probabilidade, distribui??o de probabilidades (especificamente para as distribui??es de Poisson e Exponencial) e tamb?m gera??o rand?mica de vari?veis aleat?rias, baseadas nos inversos das distribui??es. O foco do estudo ? a Avalia??o de Desempenho de Sistemas.

Estat?stica e Probabilidade Vis?o Sist?mica da Estat?stica

A Figura 1 traz uma s?ntese de conceitos relacionados ? Estat?stica.

Figura 1: Vis?o Sist?mica da Estat?stica.

1. Objetivo: a partir de valores obtidos em uma amostra, descreve-se esta e deseja-se caracterizar a popula??o como um todo generalizando observa??es da amostra.

2. Estat?stica Descritiva: parte da estat?stica que descreve os aspectos importantes de um conjunto de caracter?sticas observadas.

3. Infer?ncia Estat?stica: parte da estat?stica que usa uma amostra para fazer generaliza??es a respeito de aspectos importantes de uma popula??o.

4. Probabilidade: n?mero que indica a chance (possibilidade) de determinada situa??o acontecer.

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Defini??es B?sicas

? Um experimento aleat?rio () ? o processo de se observar o resultado de um evento n?o determin?stico. Ex.: jogada de um dado ou uma moeda.

? Resultados elementares s?o todos os poss?veis resultados de um experimento aleat?rio. Ex.: para jogada de um dado, os resultados poss?veis s?o 1, 2, 3, 4, 5, 6. Para a jogada de uma moeda, os resultados poss?veis s?o CARA e COROA. Para duas moedas, os resultados poss?veis s?o CARA-CARA, CARA-COROA, COROA-CARA, COROACOROA.

? O espa?o amostral {S} ? o conjunto de todos os resultados elementares. Ex.: para a jogada de um dado, o espa?o amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para a jogada de uma moeda, o espa?o amostral S = {CARA, COROA}.

? Um evento A (relativo a um espa?o amostral S particular, associado a um experimento ) ? simplesmente um conjunto de resultados poss?veis, ou um conjunto de um grupo de resultados. Ex.: Para o experimento jogada de dois dados, o espa?o amostral S ser? igual a todos os resultados poss?veis. S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), ..., (6,6)}. Se estivermos interessados no resultado 7 a partir da jogada de dois dados, teremos como possibilidades A = {(1,6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5,2), (6,1)}. O conjunto A ? chamado de evento obter 7 da jogada de dois dados. A S

Axiomas da Probabilidade

Seja:

? um experimento

? S o espa?o amostral deste experimento

A cada evento A, associa-se um n?mero real representado por P(A). Denomina-se P(A) a probabilidade de A, e satisfazem-se as seguintes propriedades:

0 P( A) 1

(1)

P(S) = 1

Combina??o de Eventos Dado dois eventos E e F, pode-se obter novos eventos:

? E e F: ocorr?ncia de ambos eventos; ? E ou F: ocorr?ncia de pelo menos um dos eventos; ? n?o E: o evento E n?o ocorre.

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Regras Adi??o:

? P(E ou F) = P(E) + P(F) ? P(E e F) ? preciso eliminar as ocorr?ncias de ambos os eventos simultaneamente, caso contr?rio contar-se-? estes eventos duas vezes (uma vez para a contagem do conjunto E, outra vez para a contagem do conjunto F) (Figura 2).

Figura 2: Probabilidade combinada de eventos. Para a probabilidade de E ou F, os eventos ambos simultaneamente t?m de ser subtra?dos.

Se E e F forem eventos independentes, ent?o P(E ou F) = P(E) + P(F) (pois P(E e F) = 0). Exemplo: Probabilidade de se obter o total 5 ou o total 7 na jogada de dois dados. A = {(1,4), (1,6), (2,3), (2,5), ...}. O evento obter 5 ? independente do evento obter 7, pois ambos n?o podem ocorrer ao mesmo tempo em uma ?nica jogada de dados (mutuamente excludentes).

Subtra??o:

? P(E) = 1 ? P(n?o E)

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional de um evento E, dado que ocorreu um evento F, ou a probabilidade condicional de E dado F, ? representada simbolicamente por:

P(E

|

F)

=

P(E F) P(F )

(2)

Ex.: Calcular P(E|F) ? E: evento "obter o total 8 com um par de dados" ? F: evento "obter 5 na jogada do primeiro dado"

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Solu??o:

? N?mero de elementos do espa?o amostral = 6 x 6 = 36.

? P(F) = 1/6.

? E F = evento "obter 5 na primeira jogada e o total 8". S? pode ocorrer se se obtiver o par (5,3). Logo, P(E e F) = 1/36.

?

P(E

|

F)

=

1 36 16

=

6 / 36

=

1/ 6

Regras da Multiplica??o

? P(E e F) = P(E|F) . P(F)

? P(E e F) = P(F|E) . P(E)

Se E e F forem eventos independentes, ent?o P(E e F) = P(E).P(F). Exemplo: Probabilidade de se obter 5 na primeira jogada de um dado e um 3 na segunda jogada. O evento obter 5 ? independente do evento obter 3, pois a ocorr?ncia de um evento nada garante ou informa para a ocorr?ncia do outro evento.

Ent?o: P(E|F) = 1/6 (n?o importa que F aconteceu) = P(E) (defini??o formal para eventos independentes)

Donde vem que, se E e F s?o independentes, ent?o P(E|F) = P(E) (defini??o formal) e

P(E e F) = P(E|F) . P(F) = P(E) . P(F)

Vari?vel Aleat?ria

Defini??o

Regra que atribui um valor num?rico a cada poss?vel resultado de um experimento. A Figura 3 ilustra o processo.

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